Theorem subggrp 17798

Description: A subgroup is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subggrp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subggrp	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Proof of Theorem subggrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subggrp.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	2	issubg 17795	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
4	3	simp3bi 1142	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp)
5	1, 4	syl5eqel 2843	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ⊆ wss 3715  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059   ↾_s cress 16060  Grpcgrp 17623  SubGrpcsubg 17789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-ov 6816  df-subg 17792

This theorem is referenced by:  subg0  17801  subginv  17802  subg0cl  17803  subginvcl  17804  subgcl  17805  issubg2  17810  issubgrpd  17812  subsubg  17818  resghm  17877  resghm2b  17879  subgga  17933  gasubg  17935  odsubdvds  18186  pgp0  18211  subgpgp  18212  sylow2blem2  18236  slwhash  18239  fislw  18240  subglsm  18286  pj1ghm  18316  subgabl  18441  cycsubgcyg  18502  subgdmdprd  18633  subgdprd  18634  ablfacrplem  18664  pgpfaclem1  18680  pgpfaclem3  18682  ablfaclem3  18686  issubrg2  19002  islss3  19161  mplgrp  19652  zringcyg  20041  cnmsgngrp  20127  psgnghm  20128  scmatghm  20541  m2cpmrngiso  20765  subgtgp  22110  subgngp  22640  reefgim  24403  amgmlemALT  43062