MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subggrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subggrp 18220
Description: A subgroup is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subggrp.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
subggrp (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)

Proof of Theorem subggrp
StepHypRef Expression
1 subggrp.h . 2 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
2 eqid 2818 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
32issubg 18217 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺s 𝑆) ∈ Grp))
43simp3bi 1139 . 2 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺s 𝑆) ∈ Grp)
51, 4eqeltrid 2914 1 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  wss 3933  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  s cress 16472  Grpcgrp 18041  SubGrpcsubg 18211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fv 6356  df-ov 7148  df-subg 18214
This theorem is referenced by:  subg0  18223  subginv  18224  subg0cl  18225  subginvcl  18226  subgcl  18227  issubg2  18232  issubgrpd  18234  subsubg  18240  resghm  18312  resghm2b  18314  subgga  18368  gasubg  18370  odsubdvds  18625  pgp0  18650  subgpgp  18651  sylow2blem2  18675  slwhash  18678  fislw  18679  subglsm  18728  pj1ghm  18758  subgabl  18885  cntrabl  18892  cycsubgcyg  18950  subgdmdprd  19085  subgdprd  19086  ablfacrplem  19116  pgpfaclem1  19132  pgpfaclem3  19134  ablfaclem3  19138  issubrg2  19484  subdrgint  19511  islss3  19660  mplgrp  20158  zringcyg  20566  cnmsgngrp  20651  psgnghm  20652  scmatghm  21070  m2cpmrngiso  21294  subgtgp  22641  subgngp  23171  reefgim  24965  amgmlemALT  44832
  Copyright terms: Public domain W3C validator