Theorem subgid 18283

Description: A group is a subgroup of itself. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
issubg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
subgid	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem subgid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
2		ssidd 3992	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ⊆ 𝐵)
3		issubg.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	3	ressid 16561	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ↾s 𝐵) = 𝐺)
5	4, 1	eqeltrd 2915	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ↾s 𝐵) ∈ Grp)
6	3	issubg 18281	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ (𝐺 ↾s 𝐵) ∈ Grp))
7	1, 2, 5, 6	syl3anbrc 1339	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3938  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485   ↾_s cress 16486  Grpcgrp 18105  SubGrpcsubg 18275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-ress 16493  df-subg 18278

This theorem is referenced by:  trivsubgsnd  18308  nsgid  18324  gaid2  18435  pgpfac1  19204  pgpfac  19208  ablfaclem2  19210  ablfac  19212  qusxpid  30930