MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgint Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgint 17550
Description: The intersection of a nonempty collection of subgroups is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
subgint ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem subgint
Dummy variables 𝑥 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 intssuni 4469 . . . 4 (𝑆 ≠ ∅ → 𝑆 𝑆)
21adantl 482 . . 3 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 𝑆)
3 ssel2 3582 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑔𝑆) → 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺))
43adantlr 750 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑔𝑆) → 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
65subgss 17527 . . . . . 6 (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑔 ⊆ (Base‘𝐺))
74, 6syl 17 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑔𝑆) → 𝑔 ⊆ (Base‘𝐺))
87ralrimiva 2961 . . . 4 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑔𝑆 𝑔 ⊆ (Base‘𝐺))
9 unissb 4440 . . . 4 ( 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ↔ ∀𝑔𝑆 𝑔 ⊆ (Base‘𝐺))
108, 9sylibr 224 . . 3 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
112, 10sstrd 3597 . 2 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
12 eqid 2621 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
1312subg0cl 17534 . . . . . 6 (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑔)
144, 13syl 17 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑔𝑆) → (0g𝐺) ∈ 𝑔)
1514ralrimiva 2961 . . . 4 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑔𝑆 (0g𝐺) ∈ 𝑔)
16 fvex 6163 . . . . 5 (0g𝐺) ∈ V
1716elint2 4452 . . . 4 ((0g𝐺) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑔𝑆 (0g𝐺) ∈ 𝑔)
1815, 17sylibr 224 . . 3 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (0g𝐺) ∈ 𝑆)
19 ne0i 3902 . . 3 ((0g𝐺) ∈ 𝑆 𝑆 ≠ ∅)
2018, 19syl 17 . 2 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ≠ ∅)
214adantlr 750 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) ∧ 𝑔𝑆) → 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺))
22 simprl 793 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) → 𝑥 𝑆)
23 elinti 4455 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝑆 → (𝑔𝑆𝑥𝑔))
2423imp 445 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 𝑆𝑔𝑆) → 𝑥𝑔)
2522, 24sylan 488 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) ∧ 𝑔𝑆) → 𝑥𝑔)
26 simprr 795 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) → 𝑦 𝑆)
27 elinti 4455 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 𝑆 → (𝑔𝑆𝑦𝑔))
2827imp 445 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 𝑆𝑔𝑆) → 𝑦𝑔)
2926, 28sylan 488 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) ∧ 𝑔𝑆) → 𝑦𝑔)
30 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3130subgcl 17536 . . . . . . . . 9 ((𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑔𝑦𝑔) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑔)
3221, 25, 29, 31syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) ∧ 𝑔𝑆) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑔)
3332ralrimiva 2961 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) → ∀𝑔𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑔)
34 ovex 6638 . . . . . . . 8 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ V
3534elint2 4452 . . . . . . 7 ((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑔𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑔)
3633, 35sylibr 224 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
3736anassrs 679 . . . . 5 ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝑆) ∧ 𝑦 𝑆) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
3837ralrimiva 2961 . . . 4 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝑆) → ∀𝑦 𝑆(𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆)
394adantlr 750 . . . . . . 7 ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝑆) ∧ 𝑔𝑆) → 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4024adantll 749 . . . . . . 7 ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝑆) ∧ 𝑔𝑆) → 𝑥𝑔)
41 eqid 2621 . . . . . . . 8 (invg𝐺) = (invg𝐺)
4241subginvcl 17535 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑔) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑔)
4339, 40, 42syl2anc 692 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝑆) ∧ 𝑔𝑆) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑔)
4443ralrimiva 2961 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝑆) → ∀𝑔𝑆 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑔)
45 fvex 6163 . . . . . 6 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ V
4645elint2 4452 . . . . 5 (((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑔𝑆 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑔)
4744, 46sylibr 224 . . . 4 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝑆) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑆)
4838, 47jca 554 . . 3 (((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑥 𝑆) → (∀𝑦 𝑆(𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑆))
4948ralrimiva 2961 . 2 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑥 𝑆(∀𝑦 𝑆(𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑆))
50 ssn0 3953 . . 3 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (SubGrp‘𝐺) ≠ ∅)
51 n0 3912 . . . 4 ((SubGrp‘𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺))
52 subgrcl 17531 . . . . 5 (𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
5352exlimiv 1855 . . . 4 (∃𝑔 𝑔 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
5451, 53sylbi 207 . . 3 ((SubGrp‘𝐺) ≠ ∅ → 𝐺 ∈ Grp)
555, 30, 41issubg2 17541 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ( 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ( 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 𝑆(∀𝑦 𝑆(𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑆))))
5650, 54, 553syl 18 . 2 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ( 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ( 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 𝑆(∀𝑦 𝑆(𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑆))))
5711, 20, 49, 56mpbir3and 1243 1 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wss 3559  c0 3896   cuni 4407   cint 4445  cfv 5852  (class class class)co 6610  Basecbs 15792  +gcplusg 15873  0gc0g 16032  Grpcgrp 17354  invgcminusg 17355  SubGrpcsubg 17520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-0g 16034  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-subg 17523
This theorem is referenced by:  subrgint  18734
  Copyright terms: Public domain W3C validator