MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgrcl 17539
Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
subgrcl (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem subgrcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . 3 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21issubg 17534 . 2 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺s 𝑆) ∈ Grp))
32simp1bi 1074 1 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987  wss 3560  cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  s cress 15801  Grpcgrp 17362  SubGrpcsubg 17528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fv 5865  df-ov 6618  df-subg 17531
This theorem is referenced by:  subg0  17540  subginv  17541  subgmulgcl  17547  subgsubm  17556  subsubg  17557  subgint  17558  isnsg  17563  nsgconj  17567  isnsg3  17568  ssnmz  17576  nmznsg  17578  eqger  17584  eqgid  17586  eqgen  17587  eqgcpbl  17588  qusgrp  17589  quseccl  17590  qusadd  17591  qus0  17592  qusinv  17593  qussub  17594  resghm2  17617  resghm2b  17618  conjsubg  17632  conjsubgen  17633  conjnmz  17634  conjnmzb  17635  qusghm  17637  subgga  17673  gastacos  17683  orbstafun  17684  cntrsubgnsg  17713  oppgsubg  17733  isslw  17963  sylow2blem1  17975  sylow2blem2  17976  sylow2blem3  17977  slwhash  17979  lsmval  18003  lsmelval  18004  lsmelvali  18005  lsmelvalm  18006  lsmsubg  18009  lsmless1  18014  lsmless2  18015  lsmless12  18016  lsmass  18023  lsm01  18024  lsm02  18025  subglsm  18026  lsmmod  18028  lsmcntz  18032  lsmcntzr  18033  lsmdisj2  18035  subgdisj1  18044  pj1f  18050  pj1id  18052  pj1lid  18054  pj1rid  18055  pj1ghm  18056  subgdmdprd  18373  subgdprd  18374  dprdsn  18375  pgpfaclem2  18421  cldsubg  21854
  Copyright terms: Public domain W3C validator