MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgrcl 18222
Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
subgrcl (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem subgrcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . 3 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21issubg 18217 . 2 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺s 𝑆) ∈ Grp))
32simp1bi 1137 1 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  wss 3933  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  s cress 16472  Grpcgrp 18041  SubGrpcsubg 18211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fv 6356  df-ov 7148  df-subg 18214
This theorem is referenced by:  subg0  18223  subginv  18224  subgmulgcl  18230  subgsubm  18239  subsubg  18240  subgint  18241  isnsg  18245  nsgconj  18249  isnsg3  18250  ssnmz  18256  nmznsg  18258  eqger  18268  eqgid  18270  eqgen  18271  eqgcpbl  18272  qusgrp  18273  quseccl  18274  qusadd  18275  qus0  18276  qusinv  18277  qussub  18278  resghm2  18313  resghm2b  18314  conjsubg  18328  conjsubgen  18329  conjnmz  18330  conjnmzb  18331  qusghm  18333  subgga  18368  gastacos  18378  orbstafun  18379  cntrsubgnsg  18409  oppgsubg  18429  isslw  18662  sylow2blem1  18674  sylow2blem2  18675  sylow2blem3  18676  slwhash  18678  lsmval  18702  lsmelval  18703  lsmelvali  18704  lsmelvalm  18705  lsmsubg  18708  lsmless1  18714  lsmless2  18715  lsmless12  18716  lsmass  18724  lsm01  18726  lsm02  18727  subglsm  18728  lsmmod  18730  lsmcntz  18734  lsmcntzr  18735  lsmdisj2  18737  subgdisj1  18746  pj1f  18752  pj1id  18754  pj1lid  18756  pj1rid  18757  pj1ghm  18758  subgdmdprd  19085  subgdprd  19086  dprdsn  19087  pgpfaclem2  19133  cldsubg  22646  gsumsubg  30611  qusker  30845
  Copyright terms: Public domain W3C validator