MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subid1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subid1d 10233
Description: Identity law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
subid1d (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Proof of Theorem subid1d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 subid1 10153 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  (class class class)co 6527  cc 9791  0cc0 9793  cmin 10118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-ltxr 9936  df-sub 10120
This theorem is referenced by:  suble0  10394  lesub0  10397  ltm1  10715  nn0sub  11193  max0sub  11863  modid  12515  modeqmodmin  12560  muldivbinom2  12867  bcn0  12917  bcnn  12919  hashfzo0  13032  hashfz0  13034  ccatlid  13171  swrd0val  13222  swrd0f  13228  swrdid  13229  swrdswrd0  13263  spllen  13305  splfv1  13306  splfv2a  13307  cshwsublen  13342  cshwlen  13345  repswcshw  13358  remul2  13667  clim0c  14035  rlimrecl  14108  o1rlimmul  14146  rlimno1  14181  incexclem  14356  supcvg  14376  geolim  14389  fallfacval3  14531  binomfallfaclem2  14559  bpolydiflem  14573  bpoly3  14577  addmodlteqALT  14834  dvdsmod  14837  ndvdssub  14920  nn0seqcvgd  15070  phiprmpw  15268  pczpre  15339  pcaddlem  15379  pcmpt2  15384  prmreclem4  15410  4sqlem9  15437  4sqlem11  15446  ramcl  15520  oddvdsnn0  17735  odf1o2  17760  srgbinomlem4  18315  psrlidm  19173  coe1sclmul  19422  coe1sclmul2  19424  cply1mul  19434  zndvds0  19666  recld2  22373  i1fadd  23213  mbfi1fseqlem6  23238  itgposval  23313  dveflem  23491  dv11cn  23513  lhop1lem  23525  coemulc  23760  plydivlem3  23799  plyrem  23809  vieta1lem2  23815  aareccl  23830  aalioulem3  23838  aaliou2b  23845  dvntaylp  23874  taylthlem1  23876  psercn  23929  pserdvlem2  23931  abelthlem2  23935  abelthlem3  23936  abelthlem5  23938  abelthlem7  23941  sinmpi  23988  cosppi  23991  sinhalfpim  23994  sincosq2sgn  24000  logcnlem3  24135  logcnlem4  24136  advlog  24145  efopn  24149  logtayl  24151  pythag  24292  chordthmlem5  24308  atanlogsublem  24387  rlimcnp  24437  efrlim  24441  rlimcxp  24445  cxploglim2  24450  emcllem5  24471  zetacvg  24486  lgamgulmlem2  24501  lgamcvg2  24526  0sgmppw  24668  ppiub  24674  chtublem  24681  logfacrlim  24694  logexprlim  24695  chtppilimlem2  24908  rplogsumlem2  24919  dchrisumlem3  24925  dchrvmasumiflem1  24935  dchrisum0lem2  24952  selberg2lem  24984  logdivbnd  24990  pntrsumo1  24999  pntrlog2bndlem4  25014  pntpbnd1  25020  axlowdimlem17  25584  clwlkisclwwlklem2a1  26101  clwlkisclwwlklem2a  26107  clwlkisclwwlklem0  26110  clwlkisclwwlk  26111  ipidsq  26743  nmcfnexi  28088  sgnsub  29727  knoppndvlem10  31476  poimirlem19  32392  poimirlem20  32393  ftc1anc  32457  cntotbnd  32559  irrapxlem3  36200  irrapxlem4  36201  pell14qrgt0  36235  pell1qrgaplem  36249  acongeq  36362  jm2.18  36367  hashnzfz  37335  hashnzfz2  37336  hashnzfzclim  37337  bccn1  37359  binomcxplemnotnn0  37371  dstregt0  38228  ellimcabssub0  38478  0ellimcdiv  38510  clim0cf  38515  fprodsubrecnncnvlem  38588  ioodvbdlimc2lem  38618  dvnxpaek  38626  dvnmul  38627  itgsbtaddcnst  38668  stoweidlem7  38694  stoweidlem11  38698  stoweidlem26  38713  dirkertrigeqlem2  38786  fourierdlem57  38850  fourierdlem60  38853  fourierdlem61  38854  fourierdlem68  38861  fourierdlem104  38897  fourierdlem107  38900  fourierdlem109  38902  etransclem4  38925  etransclem23  38944  etransclem27  38948  etransclem31  38952  etransclem35  38956  sigarexp  39491  sigaradd  39498  pwdif  39834  pfxmpt  40045  pfxfv  40057  pfxpfx  40073  crctcshlem4  41015  clwlkclwwlklem2a1  41193  clwlkclwwlklem2a  41199  clwlkclwwlklem3  41202  clwlkclwwlk  41203  m1modmmod  42102  dignn0flhalflem1  42199
  Copyright terms: Public domain W3C validator