Theorem subid1d 10989

Description: Identity law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subid1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Proof of Theorem subid1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		subid1 10909	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7159  ℂcc 10538  0cc0 10540   − cmin 10873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-po 5477  df-so 5478  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-ltxr 10683  df-sub 10875

This theorem is referenced by:  suble0  11157  lesub0  11160  ltm1  11485  nn0sub  11950  max0sub  12592  modid  13267  modeqmodmin  13312  muldivbinom2  13626  bcn0  13673  bcnn  13675  hashfzo0  13794  hashfz0  13796  ccatlid  13943  pfxmpt  14043  pfxfv  14047  swrdpfx  14072  pfxpfx  14073  cshwsublen  14161  remul2  14492  clim0c  14867  rlimrecl  14940  o1rlimmul  14978  rlimno1  15013  incexclem  15194  supcvg  15214  pwdif  15226  geolim  15229  fallfacval3  15369  binomfallfaclem2  15397  bpolydiflem  15411  bpoly3  15415  addmodlteqALT  15678  dvdsmod  15681  ndvdssub  15763  nn0seqcvgd  15917  phiprmpw  16116  pczpre  16187  pcaddlem  16227  pcmpt2  16232  prmreclem4  16258  4sqlem9  16285  4sqlem11  16294  ramcl  16368  oddvdsnn0  18675  odf1o2  18701  srgbinomlem4  19296  psrlidm  20186  coe1sclmul  20453  coe1sclmul2  20455  cply1mul  20465  zndvds0  20700  recld2  23425  i1fadd  24299  mbfi1fseqlem6  24324  itgposval  24399  dveflem  24579  dv11cn  24601  lhop1lem  24613  coemulc  24848  plydivlem3  24887  plyrem  24897  vieta1lem2  24903  aareccl  24918  aalioulem3  24926  aaliou2b  24933  dvntaylp  24962  taylthlem1  24964  psercn  25017  pserdvlem2  25019  abelthlem2  25023  abelthlem3  25024  abelthlem5  25026  abelthlem7  25029  sinmpi  25076  cosppi  25079  sinhalfpim  25082  sincosq2sgn  25088  logcnlem3  25230  logcnlem4  25231  advlog  25240  efopn  25244  logtayl  25246  pythag  25398  chordthmlem5  25417  atanlogsublem  25496  rlimcnp  25546  efrlim  25550  rlimcxp  25554  cxploglim2  25559  emcllem5  25580  zetacvg  25595  lgamgulmlem2  25610  lgamcvg2  25635  0sgmppw  25777  ppiub  25783  chtublem  25790  logfacrlim  25803  logexprlim  25804  chtppilimlem2  26053  rplogsumlem2  26064  dchrisumlem3  26070  dchrvmasumiflem1  26080  dchrisum0lem2  26097  selberg2lem  26129  logdivbnd  26135  pntrsumo1  26144  pntrlog2bndlem4  26159  pntpbnd1  26165  axlowdimlem17  26747  crctcshlem4  27601  clwlkclwwlklem2a1  27773  clwlkclwwlklem2a  27779  clwlkclwwlklem3  27782  clwlkclwwlk  27783  ipidsq  28490  nmcfnexi  29831  freshmansdream  30863  sgnsub  31806  knoppndvlem10  33864  poimirlem19  34915  poimirlem20  34916  ftc1anc  34979  cntotbnd  35078  irrapxlem3  39427  irrapxlem4  39428  pell14qrgt0  39462  pell1qrgaplem  39476  acongeq  39586  jm2.18  39591  hashnzfz  40658  hashnzfz2  40659  hashnzfzclim  40660  bccn1  40682  binomcxplemnotnn0  40694  dstregt0  41553  absimlere  41762  ellimcabssub0  41904  0ellimcdiv  41936  clim0cf  41941  fprodsubrecnncnvlem  42197  ioodvbdlimc2lem  42225  dvnxpaek  42233  dvnmul  42234  itgsbtaddcnst  42273  stoweidlem7  42299  stoweidlem11  42303  stoweidlem26  42318  dirkertrigeqlem2  42391  fourierdlem57  42455  fourierdlem60  42458  fourierdlem61  42459  fourierdlem68  42466  fourierdlem104  42502  fourierdlem107  42505  fourierdlem109  42507  etransclem4  42530  etransclem23  42549  etransclem27  42553  etransclem31  42557  etransclem35  42561  sigarexp  43123  sigaradd  43130  m1modmmod  44588  dignn0flhalflem1  44682  ehl2eudisval0  44719  2sphere0  44744  line2  44746  line2x  44748  itschlc0yqe  44754  itschlc0xyqsol1  44760  itschlc0xyqsol  44761