MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subid1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subid1d 10419
Description: Identity law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
subid1d (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Proof of Theorem subid1d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 subid1 10339 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  cmin 10304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306
This theorem is referenced by:  suble0  10580  lesub0  10583  ltm1  10901  nn0sub  11381  max0sub  12065  modid  12735  modeqmodmin  12780  muldivbinom2  13087  bcn0  13137  bcnn  13139  hashfzo0  13255  hashfz0  13257  ccatlid  13404  swrd0val  13466  swrd0f  13473  swrdid  13474  swrdswrd0  13508  spllen  13551  splfv1  13552  splfv2a  13553  cshwsublen  13588  cshwlen  13591  repswcshw  13604  remul2  13914  clim0c  14282  rlimrecl  14355  o1rlimmul  14393  rlimno1  14428  incexclem  14612  supcvg  14632  geolim  14645  fallfacval3  14787  binomfallfaclem2  14815  bpolydiflem  14829  bpoly3  14833  addmodlteqALT  15094  dvdsmod  15097  ndvdssub  15180  nn0seqcvgd  15330  phiprmpw  15528  pczpre  15599  pcaddlem  15639  pcmpt2  15644  prmreclem4  15670  4sqlem9  15697  4sqlem11  15706  ramcl  15780  oddvdsnn0  18009  odf1o2  18034  srgbinomlem4  18589  psrlidm  19451  coe1sclmul  19700  coe1sclmul2  19702  cply1mul  19712  zndvds0  19947  recld2  22664  i1fadd  23507  mbfi1fseqlem6  23532  itgposval  23607  dveflem  23787  dv11cn  23809  lhop1lem  23821  coemulc  24056  plydivlem3  24095  plyrem  24105  vieta1lem2  24111  aareccl  24126  aalioulem3  24134  aaliou2b  24141  dvntaylp  24170  taylthlem1  24172  psercn  24225  pserdvlem2  24227  abelthlem2  24231  abelthlem3  24232  abelthlem5  24234  abelthlem7  24237  sinmpi  24284  cosppi  24287  sinhalfpim  24290  sincosq2sgn  24296  logcnlem3  24435  logcnlem4  24436  advlog  24445  efopn  24449  logtayl  24451  pythag  24592  chordthmlem5  24608  atanlogsublem  24687  rlimcnp  24737  efrlim  24741  rlimcxp  24745  cxploglim2  24750  emcllem5  24771  zetacvg  24786  lgamgulmlem2  24801  lgamcvg2  24826  0sgmppw  24968  ppiub  24974  chtublem  24981  logfacrlim  24994  logexprlim  24995  chtppilimlem2  25208  rplogsumlem2  25219  dchrisumlem3  25225  dchrvmasumiflem1  25235  dchrisum0lem2  25252  selberg2lem  25284  logdivbnd  25290  pntrsumo1  25299  pntrlog2bndlem4  25314  pntpbnd1  25320  axlowdimlem17  25883  crctcshlem4  26768  clwlkclwwlklem2a1  26958  clwlkclwwlklem2a  26964  clwlkclwwlklem3  26967  clwlkclwwlk  26968  ipidsq  27693  nmcfnexi  29038  sgnsub  30734  knoppndvlem10  32637  poimirlem19  33558  poimirlem20  33559  ftc1anc  33623  cntotbnd  33725  irrapxlem3  37705  irrapxlem4  37706  pell14qrgt0  37740  pell1qrgaplem  37754  acongeq  37867  jm2.18  37872  hashnzfz  38836  hashnzfz2  38837  hashnzfzclim  38838  bccn1  38860  binomcxplemnotnn0  38872  dstregt0  39807  absimlere  40023  ellimcabssub0  40167  0ellimcdiv  40199  clim0cf  40204  fprodsubrecnncnvlem  40439  ioodvbdlimc2lem  40467  dvnxpaek  40475  dvnmul  40476  itgsbtaddcnst  40516  stoweidlem7  40542  stoweidlem11  40546  stoweidlem26  40561  dirkertrigeqlem2  40634  fourierdlem57  40698  fourierdlem60  40701  fourierdlem61  40702  fourierdlem68  40709  fourierdlem104  40745  fourierdlem107  40748  fourierdlem109  40750  etransclem4  40773  etransclem23  40792  etransclem27  40796  etransclem31  40800  etransclem35  40804  sigarexp  41369  sigaradd  41376  pfxmpt  41712  pfxfv  41724  pfxpfx  41740  pwdif  41826  m1modmmod  42641  dignn0flhalflem1  42734
  Copyright terms: Public domain W3C validator