MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submacs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submacs 17286
Description: Submonoids are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
submacs.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
submacs (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem submacs
Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submacs.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2621 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 eqid 2621 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
41, 2, 3issubm 17268 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd → (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑠𝐵 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
5 selpw 4137 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠𝐵)
65anbi1i 730 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)) ↔ (𝑠𝐵 ∧ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
7 3anass 1040 . . . . . 6 ((𝑠𝐵 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠𝐵 ∧ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
86, 7bitr4i 267 . . . . 5 ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)) ↔ (𝑠𝐵 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))
94, 8syl6bbr 278 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))))
109abbi2dv 2739 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))})
11 df-rab 2916 . . 3 {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)} = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))}
1210, 11syl6eqr 2673 . 2 (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)})
13 inrab 3875 . . 3 ({𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g𝐺) ∈ 𝑠} ∩ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠}) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)}
14 fvex 6158 . . . . . 6 (Base‘𝐺) ∈ V
151, 14eqeltri 2694 . . . . 5 𝐵 ∈ V
16 mreacs 16240 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
1715, 16mp1i 13 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
181, 2mndidcl 17229 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
19 acsfn0 16242 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ (0g𝐺) ∈ 𝐵) → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g𝐺) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
2015, 18, 19sylancr 694 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g𝐺) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
211, 3mndcl 17222 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
22213expb 1263 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
2322ralrimivva 2965 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
24 acsfn2 16245 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵) → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
2515, 23, 24sylancr 694 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
26 mreincl 16180 . . . 4 (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g𝐺) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵)) → ({𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g𝐺) ∈ 𝑠} ∩ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠}) ∈ (ACS‘𝐵))
2717, 20, 25, 26syl3anc 1323 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd → ({𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g𝐺) ∈ 𝑠} ∩ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠}) ∈ (ACS‘𝐵))
2813, 27syl5eqelr 2703 . 2 (𝐺 ∈ Mnd → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)} ∈ (ACS‘𝐵))
2912, 28eqeltrd 2698 1 (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  {cab 2607  wral 2907  {crab 2911  Vcvv 3186  cin 3554  wss 3555  𝒫 cpw 4130  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  0gc0g 16021  Moorecmre 16163  ACScacs 16166  Mndcmnd 17215  SubMndcsubmnd 17255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-fin 7903  df-0g 16023  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257
This theorem is referenced by:  mrcmndind  17287  gsumwspan  17304  subgacs  17550  symggen  17811  cntzspan  18168  gsumzsplit  18248  gsumzoppg  18265  gsumpt  18282  subrgacs  37248
  Copyright terms: Public domain W3C validator