MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submacs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submacs 17487
Description: Submonoids are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
submacs.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
submacs (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem submacs
Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submacs.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2724 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 eqid 2724 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
41, 2, 3issubm 17469 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd → (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑠𝐵 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
5 selpw 4273 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠𝐵)
65anbi1i 733 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)) ↔ (𝑠𝐵 ∧ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
7 3anass 1081 . . . . . 6 ((𝑠𝐵 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠𝐵 ∧ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
86, 7bitr4i 267 . . . . 5 ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)) ↔ (𝑠𝐵 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))
94, 8syl6bbr 278 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))))
109abbi2dv 2844 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))})
11 df-rab 3023 . . 3 {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)} = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))}
1210, 11syl6eqr 2776 . 2 (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)})
13 inrab 4007 . . 3 ({𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g𝐺) ∈ 𝑠} ∩ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠}) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)}
14 fvex 6314 . . . . . 6 (Base‘𝐺) ∈ V
151, 14eqeltri 2799 . . . . 5 𝐵 ∈ V
16 mreacs 16441 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
1715, 16mp1i 13 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
181, 2mndidcl 17430 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
19 acsfn0 16443 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ (0g𝐺) ∈ 𝐵) → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g𝐺) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
2015, 18, 19sylancr 698 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g𝐺) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
211, 3mndcl 17423 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
22213expb 1113 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
2322ralrimivva 3073 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
24 acsfn2 16446 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵) → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
2515, 23, 24sylancr 698 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
26 mreincl 16382 . . . 4 (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g𝐺) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵)) → ({𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g𝐺) ∈ 𝑠} ∩ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠}) ∈ (ACS‘𝐵))
2717, 20, 25, 26syl3anc 1439 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd → ({𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g𝐺) ∈ 𝑠} ∩ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠}) ∈ (ACS‘𝐵))
2813, 27syl5eqelr 2808 . 2 (𝐺 ∈ Mnd → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)} ∈ (ACS‘𝐵))
2912, 28eqeltrd 2803 1 (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  {cab 2710  wral 3014  {crab 3018  Vcvv 3304  cin 3679  wss 3680  𝒫 cpw 4266  cfv 6001  (class class class)co 6765  Basecbs 15980  +gcplusg 16064  0gc0g 16223  Moorecmre 16365  ACScacs 16368  Mndcmnd 17416  SubMndcsubmnd 17456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-en 8073  df-fin 8076  df-0g 16225  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458
This theorem is referenced by:  mrcmndind  17488  gsumwspan  17505  subgacs  17751  symggen  18011  cntzspan  18368  gsumzsplit  18448  gsumzoppg  18465  gsumpt  18482  subrgacs  38189
  Copyright terms: Public domain W3C validator