Theorem submateqlem1 31074

Description: Lemma for submateq 31076. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
submateqlem1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
submateqlem1.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
submateqlem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
submateqlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
submateqlem1	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ∧ (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

Proof of Theorem submateqlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submateqlem1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝑀)
2		fz1ssnn 12941	. . . . . . 7 ⊢ (1...(𝑁 − 1)) ⊆ ℕ
3		submateqlem1.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
4	2, 3	sseldi 3967	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
5	4	nnred 11655	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
6		submateqlem1.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	6	nnred 11655	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
8		1red 10644	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9	7, 8	resubcld 11070	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
10		elfzle2 12914	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
11	3, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
12	7	lem1d 11575	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
13	5, 9, 7, 11, 12	letrd 10799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
14	1, 13	jca 514	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
15	4	nnzd 12089	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
16		fz1ssnn 12941	. . . . . 6 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
17		submateqlem1.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
18	16, 17	sseldi 3967	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
19	18	nnzd 12089	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
20	6	nnzd 12089	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
21		elfz 12901	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
22	15, 19, 20, 21	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
23	14, 22	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝐾...𝑁))
24	4	nnnn0d 11958	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
25	24	nn0ge0d 11961	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
26		1re 10643	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
27		addge02 11153	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ (𝑀 + 1)))
28	26, 5, 27	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ (𝑀 + 1)))
29	25, 28	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑀 + 1))
30	6	nnnn0d 11958	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
31		nn0ltlem1 12045	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
32	24, 30, 31	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
33	11, 32	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑁)
34		nnltp1le 12041	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
35	4, 6, 34	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
36	33, 35	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)
37	29, 36	jca 514	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁))
38	15	peano2zd 12093	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
39		1zzd 12016	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
40		elfz 12901	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
41	38, 39, 20, 40	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ (𝑀 + 1) ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁)))
42	37, 41	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁))
43	18	nnred 11655	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
44		nnleltp1 12040	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐾 ≤ 𝑀 ↔ 𝐾 < (𝑀 + 1)))
45	18, 4, 44	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 𝑀 ↔ 𝐾 < (𝑀 + 1)))
46	1, 45	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < (𝑀 + 1))
47	43, 46	ltned 10778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ (𝑀 + 1))
48	47	necomd 3073	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≠ 𝐾)
49		nelsn 4607	. . . 4 ⊢ ((𝑀 + 1) ≠ 𝐾 → ¬ (𝑀 + 1) ∈ {𝐾})
50	48, 49	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑀 + 1) ∈ {𝐾})
51	42, 50	eldifd 3949	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾}))
52	23, 51	jca 514	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐾...𝑁) ∧ (𝑀 + 1) ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝐾})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018   ∖ cdif 3935  {csn 4569   class class class wbr 5068  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   < clt 10677   ≤ cle 10678   − cmin 10872  ℕcn 11640  ℕ₀cn0 11900  ℤcz 11984  ...cfz 12895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896

This theorem is referenced by:  submateq  31076