MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submmulg 17787
Description: A group multiple is the same if evaluated in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
submmulgcl.t = (.g𝐺)
submmulg.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
submmulg.t · = (.g𝐻)
Assertion
Ref Expression
submmulg ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → (𝑁 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))

Proof of Theorem submmulg
StepHypRef Expression
1 simpl1 1228 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
2 submmulg.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
3 eqid 2760 . . . . . . 7 (+g𝐺) = (+g𝐺)
42, 3ressplusg 16195 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (+g𝐺) = (+g𝐻))
51, 4syl 17 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (+g𝐺) = (+g𝐻))
65seqeq2d 13002 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑋})))
76fveq1d 6354 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) = (seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
8 simpr 479 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
9 eqid 2760 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
109submss 17551 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
11103ad2ant1 1128 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
12 simp3 1133 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → 𝑋𝑆)
1311, 12sseldd 3745 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
1413adantr 472 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
15 submmulgcl.t . . . . 5 = (.g𝐺)
16 eqid 2760 . . . . 5 seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))
179, 3, 15, 16mulgnn 17748 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑁 𝑋) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
188, 14, 17syl2anc 696 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 𝑋) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
192submbas 17556 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
20193ad2ant1 1128 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
2112, 20eleqtrd 2841 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
2221adantr 472 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
23 eqid 2760 . . . . 5 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
24 eqid 2760 . . . . 5 (+g𝐻) = (+g𝐻)
25 submmulg.t . . . . 5 · = (.g𝐻)
26 eqid 2760 . . . . 5 seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑋}))
2723, 24, 25, 26mulgnn 17748 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
288, 22, 27syl2anc 696 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
297, 18, 283eqtr4d 2804 . 2 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
30 simpl1 1228 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
31 eqid 2760 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
322, 31subm0 17557 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g𝐺) = (0g𝐻))
3330, 32syl 17 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (0g𝐺) = (0g𝐻))
3413adantr 472 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
359, 31, 15mulg0 17747 . . . . 5 (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → (0 𝑋) = (0g𝐺))
3634, 35syl 17 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (0 𝑋) = (0g𝐺))
3721adantr 472 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
38 eqid 2760 . . . . . 6 (0g𝐻) = (0g𝐻)
3923, 38, 25mulg0 17747 . . . . 5 (𝑋 ∈ (Base‘𝐻) → (0 · 𝑋) = (0g𝐻))
4037, 39syl 17 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (0 · 𝑋) = (0g𝐻))
4133, 36, 403eqtr4d 2804 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (0 𝑋) = (0 · 𝑋))
42 simpr 479 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
4342oveq1d 6828 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 𝑋) = (0 𝑋))
4442oveq1d 6828 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
4541, 43, 443eqtr4d 2804 . 2 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
46 simp2 1132 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
47 elnn0 11486 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
4846, 47sylib 208 . 2 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
4929, 45, 48mpjaodan 862 1 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → (𝑁 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715  {csn 4321   × cxp 5264  cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  1c1 10129  cn 11212  0cn0 11484  seqcseq 12995  Basecbs 16059  s cress 16060  +gcplusg 16143  0gc0g 16302  SubMndcsubmnd 17535  .gcmg 17741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-seq 12996  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742
This theorem is referenced by:  submod  18184  dchrfi  25179  dchrabs  25184  lgsqrlem1  25270  lgseisenlem4  25302  dchrisum0flblem1  25396  submarchi  30049  idomodle  38276  proot1ex  38281
  Copyright terms: Public domain W3C validator