MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submmulg 17507
Description: A group multiple is the same if evaluated in a submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
submmulgcl.t = (.g𝐺)
submmulg.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
submmulg.t · = (.g𝐻)
Assertion
Ref Expression
submmulg ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → (𝑁 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))

Proof of Theorem submmulg
StepHypRef Expression
1 simpl1 1062 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
2 submmulg.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
3 eqid 2621 . . . . . . 7 (+g𝐺) = (+g𝐺)
42, 3ressplusg 15914 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (+g𝐺) = (+g𝐻))
51, 4syl 17 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (+g𝐺) = (+g𝐻))
65seqeq2d 12748 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑋})))
76fveq1d 6150 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁) = (seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
8 simpr 477 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
9 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
109submss 17271 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
11103ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
12 simp3 1061 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → 𝑋𝑆)
1311, 12sseldd 3584 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
1413adantr 481 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
15 submmulgcl.t . . . . 5 = (.g𝐺)
16 eqid 2621 . . . . 5 seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))
179, 3, 15, 16mulgnn 17468 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑁 𝑋) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
188, 14, 17syl2anc 692 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 𝑋) = (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
192submbas 17276 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
20193ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
2112, 20eleqtrd 2700 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
2221adantr 481 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
23 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
24 eqid 2621 . . . . 5 (+g𝐻) = (+g𝐻)
25 submmulg.t . . . . 5 · = (.g𝐻)
26 eqid 2621 . . . . 5 seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑋})) = seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑋}))
2723, 24, 25, 26mulgnn 17468 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
288, 22, 27syl2anc 692 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑋) = (seq1((+g𝐻), (ℕ × {𝑋}))‘𝑁))
297, 18, 283eqtr4d 2665 . 2 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
30 simpl1 1062 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
31 eqid 2621 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
322, 31subm0 17277 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (0g𝐺) = (0g𝐻))
3330, 32syl 17 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (0g𝐺) = (0g𝐻))
3413adantr 481 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
359, 31, 15mulg0 17467 . . . . 5 (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) → (0 𝑋) = (0g𝐺))
3634, 35syl 17 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (0 𝑋) = (0g𝐺))
3721adantr 481 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
38 eqid 2621 . . . . . 6 (0g𝐻) = (0g𝐻)
3923, 38, 25mulg0 17467 . . . . 5 (𝑋 ∈ (Base‘𝐻) → (0 · 𝑋) = (0g𝐻))
4037, 39syl 17 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (0 · 𝑋) = (0g𝐻))
4133, 36, 403eqtr4d 2665 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (0 𝑋) = (0 · 𝑋))
42 simpr 477 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
4342oveq1d 6619 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 𝑋) = (0 𝑋))
4442oveq1d 6619 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
4541, 43, 443eqtr4d 2665 . 2 (((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
46 simp2 1060 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → 𝑁 ∈ ℕ0)
47 elnn0 11238 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
4846, 47sylib 208 . 2 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
4929, 45, 48mpjaodan 826 1 ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑆) → (𝑁 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3555  {csn 4148   × cxp 5072  cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881  cn 10964  0cn0 11236  seqcseq 12741  Basecbs 15781  s cress 15782  +gcplusg 15862  0gc0g 16021  SubMndcsubmnd 17255  .gcmg 17461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-seq 12742  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462
This theorem is referenced by:  submod  17905  dchrfi  24880  dchrabs  24885  lgsqrlem1  24971  lgseisenlem4  25003  dchrisum0flblem1  25097  submarchi  29522  idomodle  37252  proot1ex  37257
  Copyright terms: Public domain W3C validator