MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submtmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submtmd 22107
Description: A submonoid of a topological monoid is a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgtgp.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
submtmd ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopMnd)

Proof of Theorem submtmd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgtgp.h . . . 4 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
21submmnd 17553 . . 3 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐻 ∈ Mnd)
32adantl 473 . 2 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝐻 ∈ Mnd)
4 tmdtps 22079 . . . 4 (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopSp)
5 resstps 21191 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopSp ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝐺s 𝑆) ∈ TopSp)
64, 5sylan 489 . . 3 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝐺s 𝑆) ∈ TopSp)
71, 6syl5eqel 2841 . 2 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopSp)
81submbas 17554 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
98adantl 473 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
10 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (+g𝐺) = (+g𝐺)
111, 10ressplusg 16193 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (+g𝐺) = (+g𝐻))
1211adantl 473 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (+g𝐺) = (+g𝐻))
1312oveqd 6828 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝐻)𝑦))
149, 9, 13mpt2eq123dv 6880 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑥𝑆, 𝑦𝑆 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(+g𝐻)𝑦)))
15 eqid 2758 . . . . . 6 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
16 eqid 2758 . . . . . 6 (+g𝐻) = (+g𝐻)
17 eqid 2758 . . . . . 6 (+𝑓𝐻) = (+𝑓𝐻)
1815, 16, 17plusffval 17446 . . . . 5 (+𝑓𝐻) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ (𝑥(+g𝐻)𝑦))
1914, 18syl6reqr 2811 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (+𝑓𝐻) = (𝑥𝑆, 𝑦𝑆 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)))
20 eqid 2758 . . . . 5 ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)
21 eqid 2758 . . . . . . 7 (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
22 eqid 2758 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2321, 22tmdtopon 22084 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopMnd → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
2423adantr 472 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
2522submss 17549 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
2625adantl 473 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
27 eqid 2758 . . . . . . . 8 (+𝑓𝐺) = (+𝑓𝐺)
2822, 10, 27plusffval 17446 . . . . . . 7 (+𝑓𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦))
2921, 27tmdcn 22086 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ TopMnd → (+𝑓𝐺) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
3028, 29syl5eqelr 2842 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
3130adantr 472 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺), 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ×t (TopOpen‘𝐺)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
3220, 24, 26, 20, 24, 26, 31cnmpt2res 21680 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑥𝑆, 𝑦𝑆 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
3319, 32eqeltrd 2837 . . 3 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (+𝑓𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn (TopOpen‘𝐺)))
3415, 17mndplusf 17508 . . . . . 6 (𝐻 ∈ Mnd → (+𝑓𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻))
35 frn 6212 . . . . . 6 ((+𝑓𝐻):((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))⟶(Base‘𝐻) → ran (+𝑓𝐻) ⊆ (Base‘𝐻))
363, 34, 353syl 18 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → ran (+𝑓𝐻) ⊆ (Base‘𝐻))
3736, 9sseqtr4d 3781 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → ran (+𝑓𝐻) ⊆ 𝑆)
38 cnrest2 21290 . . . 4 (((TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)) ∧ ran (+𝑓𝐻) ⊆ 𝑆𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((+𝑓𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn (TopOpen‘𝐺)) ↔ (+𝑓𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆))))
3924, 37, 26, 38syl3anc 1477 . . 3 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → ((+𝑓𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn (TopOpen‘𝐺)) ↔ (+𝑓𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆))))
4033, 39mpbid 222 . 2 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (+𝑓𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)))
411, 21resstopn 21190 . . 3 ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) = (TopOpen‘𝐻)
4217, 41istmd 22077 . 2 (𝐻 ∈ TopMnd ↔ (𝐻 ∈ Mnd ∧ 𝐻 ∈ TopSp ∧ (+𝑓𝐻) ∈ ((((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) ×t ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆))))
433, 7, 40, 42syl3anbrc 1429 1 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopMnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1630  wcel 2137  wss 3713   × cxp 5262  ran crn 5265  wf 6043  cfv 6047  (class class class)co 6811  cmpt2 6813  Basecbs 16057  s cress 16058  +gcplusg 16141  t crest 16281  TopOpenctopn 16282  +𝑓cplusf 17438  Mndcmnd 17493  SubMndcsubmnd 17533  TopOnctopon 20915  TopSpctps 20936   Cn ccn 21228   ×t ctx 21563  TopMndctmd 22073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-oadd 7731  df-er 7909  df-map 8023  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-fi 8480  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-5 11272  df-6 11273  df-7 11274  df-8 11275  df-9 11276  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-tset 16160  df-rest 16283  df-topn 16284  df-0g 16302  df-topgen 16304  df-plusf 17440  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-submnd 17535  df-top 20899  df-topon 20916  df-topsp 20937  df-bases 20950  df-cn 21231  df-tx 21565  df-tmd 22075
This theorem is referenced by:  subgtgp  22108  nrgtdrg  22696  iistmd  30255
  Copyright terms: Public domain W3C validator