Theorem subne0d 11000

Description: Two unequal numbers have nonzero difference. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
subne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem subne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		negidd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		pncand.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		subeq0 10906	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	5	necon3bid 3060	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
7	1, 6	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  0cc0 10531   − cmin 10864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-po 5469  df-so 5470  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-ltxr 10674  df-sub 10866

This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  13306  abssubne0  14670  rlimuni  14901  climuni  14903  pwm1geoserOLD  15219  evth  23557  dvlem  24488  dvconst  24508  dvid  24509  dvcnp2  24511  dvaddbr  24529  dvmulbr  24530  dvcobr  24537  dvcjbr  24540  dvrec  24546  dvcnvlem  24567  dvferm2lem  24577  taylthlem2  24956  ulmdvlem1  24982  ang180lem4  25384  ang180lem5  25385  ang180  25386  isosctrlem3  25392  isosctr  25393  ssscongptld  25394  affineequivne  25399  angpieqvdlem  25400  angpieqvdlem2  25401  angpined  25402  angpieqvd  25403  chordthmlem  25404  chordthmlem2  25405  heron  25410  asinlem  25440  lgamgulmlem2  25601  lgamgulmlem3  25602  2sqmod  26006  ttgcontlem1  26665  brbtwn2  26685  axcontlem8  26751  subne0nn  30532  signsvtn0  31835  unbdqndv2lem2  33844  bj-bary1lem  34585  bj-bary1lem1  34586  bj-bary1  34587  pellexlem6  39424  jm2.26lem3  39591  areaquad  39816  bcc0  40665  bccm1k  40667  abssubrp  41533  lptre2pt  41913  limclner  41924  climxrre  42023  cnrefiisplem  42102  fperdvper  42195  stoweidlem23  42301  wallispilem4  42346  wallispi  42348  wallispi2lem1  42349  wallispi2lem2  42350  wallispi2  42351  stirlinglem5  42356  fourierdlem4  42389  fourierdlem42  42427  fourierdlem74  42458  fourierdlem75  42459  fouriersw  42509  sigardiv  43111  sigarcol  43114  sharhght  43115  affinecomb1  44682  affinecomb2  44683  1subrec1sub  44685  eenglngeehlnmlem1  44717  eenglngeehlnmlem2  44718  rrx2vlinest  44721  rrx2linest  44722  2itscp  44761  itscnhlinecirc02plem1  44762  itscnhlinecirc02p  44765