MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subne0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subne0d 10345
Description: Two unequal numbers have nonzero difference. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
subne0d.3 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
subne0d (𝜑 → (𝐴𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem subne0d
StepHypRef Expression
1 subne0d.3 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
2 negidd.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 pncand.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 subeq0 10251 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
52, 3, 4syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
65necon3bid 2834 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐴𝐵))
71, 6mpbird 247 1 (𝜑 → (𝐴𝐵) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880  cmin 10210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-ltxr 10023  df-sub 10212
This theorem is referenced by:  modsumfzodifsn  12683  abssubne0  13990  rlimuni  14215  climuni  14217  pwm1geoser  14525  evth  22666  dvlem  23566  dvconst  23586  dvid  23587  dvcnp2  23589  dvaddbr  23607  dvmulbr  23608  dvcobr  23615  dvcjbr  23618  dvrec  23624  dvcnvlem  23643  dvferm2lem  23653  taylthlem2  24032  ulmdvlem1  24058  ang180lem4  24442  ang180lem5  24443  ang180  24444  isosctrlem3  24450  isosctr  24451  ssscongptld  24452  angpieqvdlem  24455  angpieqvdlem2  24456  angpined  24457  angpieqvd  24458  chordthmlem  24459  chordthmlem2  24460  heron  24465  asinlem  24495  lgamgulmlem2  24656  lgamgulmlem3  24657  ttgcontlem1  25665  brbtwn2  25685  axcontlem8  25751  2sqmod  29433  signsvtn0  30427  unbdqndv2lem2  32143  bj-bary1lem  32793  bj-bary1lem1  32794  bj-bary1  32795  pellexlem6  36878  jm2.26lem3  37048  areaquad  37283  bcc0  38021  bccm1k  38023  abssubrp  38951  lptre2pt  39276  limclner  39287  fperdvper  39439  stoweidlem23  39547  wallispilem4  39592  wallispi  39594  wallispi2lem1  39595  wallispi2lem2  39596  wallispi2  39597  stirlinglem5  39602  fourierdlem4  39635  fourierdlem42  39673  fourierdlem74  39704  fourierdlem75  39705  fouriersw  39755  sigardiv  40354  sigarcol  40357  sharhght  40358
  Copyright terms: Public domain W3C validator