MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subnegd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subnegd 10351
Description: Relationship between subtraction and negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
subnegd (𝜑 → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem subnegd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 subneg 10282 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
41, 2, 3syl2anc 692 1 (𝜑 → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6610  cc 9886   + caddc 9891  cmin 10218  -cneg 10219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-ltxr 10031  df-sub 10220  df-neg 10221
This theorem is referenced by:  possumd  10604  dfceil2  12588  addmodlteq  12693  ipcnval  13825  fallfacfwd  14703  cossub  14835  znunit  19844  cphsqrtcl2  22909  ulmshft  24065  ptolemy  24169  efeq1  24196  quad2  24483  dcubic2  24488  dcubic  24490  mcubic  24491  dquartlem1  24495  quart  24505  asinlem  24512  asinlem2  24513  sinasin  24533  asinsin  24536  atandmtan  24564  atantan  24567  lgamgulmlem2  24673  lgambdd  24680  lgamucov  24681  lgseisenlem2  25018  rpvmasum2  25118  chpdifbndlem1  25159  pntrsumo1  25171  pntrlog2bndlem4  25186  nvabs  27397  poimirlem29  33105  areacirc  33172  acongrep  37062  acongeq  37065  jm2.25  37081  jm2.26lem3  37083  radcnvrat  38030  dvradcnv2  38063  binomcxplemnotnn0  38072  fperiodmul  39013  itgsincmulx  39523  fourierdlem103  39759  fourierdlem109  39765  fourierdlem111  39767  sqwvfoura  39778  etransclem46  39830  hoicvrrex  40103  sigarms  40375  fmtnorec3  40785  2pwp1prm  40828
  Copyright terms: Public domain W3C validator