MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgasclcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgasclcl 19413
Description: The scalars in a polynomial algebra are in the subring algebra iff the scalar value is in the subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgascl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
subrgascl.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
subrgascl.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
subrgascl.u 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
subrgascl.i (𝜑𝐼𝑊)
subrgascl.r (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
subrgasclcl.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
subrgasclcl.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
subrgasclcl.x (𝜑𝑋𝐾)
Assertion
Ref Expression
subrgasclcl (𝜑 → ((𝐴𝑋) ∈ 𝐵𝑋𝑇))

Proof of Theorem subrgasclcl
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgascl.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑊)
21adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → 𝐼𝑊)
3 eqid 2626 . . . . . 6 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
43psrbag0 19408 . . . . 5 (𝐼𝑊 → (𝐼 × {0}) ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
52, 4syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐼 × {0}) ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
6 eqid 2626 . . . . . 6 (𝐼 mPwSer 𝐻) = (𝐼 mPwSer 𝐻)
7 eqid 2626 . . . . . 6 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
8 eqid 2626 . . . . . 6 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
9 subrgascl.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
10 eqid 2626 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
11 subrgasclcl.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Base‘𝑅)
12 subrgascl.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (algSc‘𝑃)
13 subrgascl.r . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
14 subrgrcl 18701 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
16 subrgasclcl.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐾)
179, 3, 10, 11, 12, 1, 15, 16mplascl 19410 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝑋) = (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅))))
1817adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐴𝑋) = (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅))))
19 subrgascl.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
20 subrgasclcl.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑈)
21 subrgascl.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
2221subrgring 18699 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐻 ∈ Ring)
2313, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 ∈ Ring)
246, 19, 20, 1, 23mplsubrg 19354 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
258subrgss 18697 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
2726sselda 3588 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐴𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
2818, 27eqeltrrd 2705 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅))) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
296, 7, 3, 8, 28psrelbas 19293 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅))):{𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝐻))
30 eqid 2626 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅))) = (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅)))
3130fmpt 6338 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝐻) ↔ (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅))):{𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝐻))
3229, 31sylibr 224 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝐻))
33 iftrue 4069 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐼 × {0}) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅)) = 𝑋)
3433eleq1d 2688 . . . . 5 (𝑥 = (𝐼 × {0}) → (if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝐻) ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)))
3534rspcv 3296 . . . 4 ((𝐼 × {0}) ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} → (∀𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝐻) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)))
365, 32, 35sylc 65 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
3721subrgbas 18705 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
3813, 37syl 17 . . . 4 (𝜑𝑇 = (Base‘𝐻))
3938adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
4036, 39eleqtrrd 2707 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → 𝑋𝑇)
41 eqid 2626 . . . . . 6 (algSc‘𝑈) = (algSc‘𝑈)
429, 12, 21, 19, 1, 13, 41subrgascl 19412 . . . . 5 (𝜑 → (algSc‘𝑈) = (𝐴𝑇))
4342fveq1d 6152 . . . 4 (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘𝑋) = ((𝐴𝑇)‘𝑋))
44 fvres 6165 . . . 4 (𝑋𝑇 → ((𝐴𝑇)‘𝑋) = (𝐴𝑋))
4543, 44sylan9eq 2680 . . 3 ((𝜑𝑋𝑇) → ((algSc‘𝑈)‘𝑋) = (𝐴𝑋))
46 eqid 2626 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
4719mplring 19366 . . . . . . 7 ((𝐼𝑊𝐻 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ Ring)
4819mpllmod 19365 . . . . . . 7 ((𝐼𝑊𝐻 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ LMod)
49 eqid 2626 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
5041, 46, 47, 48, 49, 20asclf 19251 . . . . . 6 ((𝐼𝑊𝐻 ∈ Ring) → (algSc‘𝑈):(Base‘(Scalar‘𝑈))⟶𝐵)
511, 23, 50syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → (algSc‘𝑈):(Base‘(Scalar‘𝑈))⟶𝐵)
5251adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑇) → (algSc‘𝑈):(Base‘(Scalar‘𝑈))⟶𝐵)
5319, 1, 23mplsca 19359 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 = (Scalar‘𝑈))
5453fveq2d 6154 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
5538, 54eqtrd 2660 . . . . . 6 (𝜑𝑇 = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
5655eleq2d 2689 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝑇𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))))
5756biimpa 501 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑇) → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
5852, 57ffvelrnd 6317 . . 3 ((𝜑𝑋𝑇) → ((algSc‘𝑈)‘𝑋) ∈ 𝐵)
5945, 58eqeltrrd 2705 . 2 ((𝜑𝑋𝑇) → (𝐴𝑋) ∈ 𝐵)
6040, 59impbida 876 1 (𝜑 → ((𝐴𝑋) ∈ 𝐵𝑋𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  {crab 2916  wss 3560  ifcif 4063  {csn 4153  cmpt 4678   × cxp 5077  ccnv 5078  cres 5081  cima 5082  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  𝑚 cmap 7803  Fincfn 7900  0cc0 9881  cn 10965  0cn0 11237  Basecbs 15776  s cress 15777  Scalarcsca 15860  0gc0g 16016  Ringcrg 18463  SubRingcsubrg 18692  algSccascl 19225   mPwSer cmps 19265   mPoly cmpl 19267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-ofr 6852  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-hash 13055  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-tset 15876  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-mhm 17251  df-submnd 17252  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-sbg 17343  df-mulg 17457  df-subg 17507  df-ghm 17574  df-cntz 17666  df-cmn 18111  df-abl 18112  df-mgp 18406  df-ur 18418  df-ring 18465  df-subrg 18694  df-lmod 18781  df-lss 18847  df-ascl 19228  df-psr 19270  df-mpl 19272
This theorem is referenced by:  subrg1asclcl  19544
  Copyright terms: Public domain W3C validator