Theorem subrgchr 30867

Description: If 𝐴 is a subring of 𝑅, then they have the same characteristic. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
subrgchr	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (chr‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (chr‘𝑅))

Proof of Theorem subrgchr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgsubg 19543	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))
2		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	2	subrg1cl 19545	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐴)
4		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) = (𝑅 ↾s 𝐴)
5		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
6		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (od‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (od‘(𝑅 ↾s 𝐴))
7	4, 5, 6	subgod 18697	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴) → ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) = ((od‘(𝑅 ↾s 𝐴))‘(1r‘𝑅)))
8	1, 3, 7	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) = ((od‘(𝑅 ↾s 𝐴))‘(1r‘𝑅)))
9	4, 2	subrg1 19547	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) = (1r‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
10	9	fveq2d 6676	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ((od‘(𝑅 ↾s 𝐴))‘(1r‘𝑅)) = ((od‘(𝑅 ↾s 𝐴))‘(1r‘(𝑅 ↾s 𝐴))))
11	8, 10	eqtr2d 2859	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ((od‘(𝑅 ↾s 𝐴))‘(1r‘(𝑅 ↾s 𝐴))) = ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)))
12		eqid 2823	. . 3 ⊢ (1r‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (1r‘(𝑅 ↾s 𝐴))
13		eqid 2823	. . 3 ⊢ (chr‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (chr‘(𝑅 ↾s 𝐴))
14	6, 12, 13	chrval 20674	. 2 ⊢ ((od‘(𝑅 ↾s 𝐴))‘(1r‘(𝑅 ↾s 𝐴))) = (chr‘(𝑅 ↾s 𝐴))
15		eqid 2823	. . 3 ⊢ (chr‘𝑅) = (chr‘𝑅)
16	5, 2, 15	chrval 20674	. 2 ⊢ ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) = (chr‘𝑅)
17	11, 14, 16	3eqtr3g 2881	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (chr‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (chr‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ↾_s cress 16486  SubGrpcsubg 18275  odcod 18654  1_rcur 19253  SubRingcsubrg 19533  chrcchr 20651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-seq 13373  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-mulg 18227  df-subg 18278  df-od 18658  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-subrg 19535  df-chr 20655

This theorem is referenced by:  primefldchr  30869  fldextchr  31057  cnrrext  31253