MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgcrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgcrng 18705
Description: A subring of a commutative ring is a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgring.1 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
Assertion
Ref Expression
subrgcrng ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ CRing)

Proof of Theorem subrgcrng
StepHypRef Expression
1 subrgring.1 . . . 4 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
21subrgring 18704 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
32adantl 482 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ Ring)
4 eqid 2621 . . . 4 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
51, 4mgpress 18421 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))
64crngmgp 18476 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
76adantr 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
8 eqid 2621 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
98ringmgp 18474 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
103, 9syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
115, 10eqeltrd 2698 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴) ∈ Mnd)
12 eqid 2621 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴)
1312subcmn 18163 . . . 4 (((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴) ∈ Mnd) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴) ∈ CMnd)
147, 11, 13syl2anc 692 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴) ∈ CMnd)
155, 14eqeltrrd 2699 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (mulGrp‘𝑆) ∈ CMnd)
168iscrng 18475 . 2 (𝑆 ∈ CRing ↔ (𝑆 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑆) ∈ CMnd))
173, 15, 16sylanbrc 697 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ CRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5847  (class class class)co 6604  s cress 15782  Mndcmnd 17215  CMndccmn 18114  mulGrpcmgp 18410  Ringcrg 18468  CRingccrg 18469  SubRingcsubrg 18697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-cmn 18116  df-mgp 18411  df-ring 18470  df-cring 18471  df-subrg 18699
This theorem is referenced by:  sraassa  19244  mplcrng  19372  evlsval2  19439  mpfind  19455  ply1crng  19487  evls1gsummul  19609  zringcrng  19739  refld  19884  gzcrng  29624
  Copyright terms: Public domain W3C validator