Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgdv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgdv 18999
 Description: A subring always has the same division function, for elements that are invertible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgdv.1 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
subrgdv.2 / = (/r𝑅)
subrgdv.3 𝑈 = (Unit‘𝑆)
subrgdv.4 𝐸 = (/r𝑆)
Assertion
Ref Expression
subrgdv ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋𝐸𝑌))

Proof of Theorem subrgdv
StepHypRef Expression
1 subrgdv.1 . . . . . 6 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
2 eqid 2760 . . . . . 6 (invr𝑅) = (invr𝑅)
3 subrgdv.3 . . . . . 6 𝑈 = (Unit‘𝑆)
4 eqid 2760 . . . . . 6 (invr𝑆) = (invr𝑆)
51, 2, 3, 4subrginv 18998 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑌𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑌) = ((invr𝑆)‘𝑌))
653adant2 1126 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑌) = ((invr𝑆)‘𝑌))
76oveq2d 6829 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌)) = (𝑋(.r𝑅)((invr𝑆)‘𝑌)))
8 eqid 2760 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
91, 8ressmulr 16208 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r𝑅) = (.r𝑆))
1093ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → (.r𝑅) = (.r𝑆))
1110oveqd 6830 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → (𝑋(.r𝑅)((invr𝑆)‘𝑌)) = (𝑋(.r𝑆)((invr𝑆)‘𝑌)))
127, 11eqtrd 2794 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌)) = (𝑋(.r𝑆)((invr𝑆)‘𝑌)))
13 eqid 2760 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1413subrgss 18983 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
15143ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
16 simp2 1132 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → 𝑋𝐴)
1715, 16sseldd 3745 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
18 eqid 2760 . . . . . 6 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
191, 18, 3subrguss 18997 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑈 ⊆ (Unit‘𝑅))
20193ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → 𝑈 ⊆ (Unit‘𝑅))
21 simp3 1133 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → 𝑌𝑈)
2220, 21sseldd 3745 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → 𝑌 ∈ (Unit‘𝑅))
23 subrgdv.2 . . . 4 / = (/r𝑅)
2413, 8, 18, 2, 23dvrval 18885 . . 3 ((𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑌 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌)))
2517, 22, 24syl2anc 696 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌)))
261subrgbas 18991 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
27263ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
2816, 27eleqtrd 2841 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑆))
29 eqid 2760 . . . 4 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
30 eqid 2760 . . . 4 (.r𝑆) = (.r𝑆)
31 subrgdv.4 . . . 4 𝐸 = (/r𝑆)
3229, 30, 3, 4, 31dvrval 18885 . . 3 ((𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑌𝑈) → (𝑋𝐸𝑌) = (𝑋(.r𝑆)((invr𝑆)‘𝑌)))
3328, 21, 32syl2anc 696 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → (𝑋𝐸𝑌) = (𝑋(.r𝑆)((invr𝑆)‘𝑌)))
3412, 25, 333eqtr4d 2804 1 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋𝐸𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ⊆ wss 3715  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059   ↾s cress 16060  .rcmulr 16144  Unitcui 18839  invrcinvr 18871  /rcdvr 18882  SubRingcsubrg 18978 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-subg 17792  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-invr 18872  df-dvr 18883  df-subrg 18980 This theorem is referenced by:  qsssubdrg  20007  redvr  20165  cvsdiv  23132  qrngdiv  25512
 Copyright terms: Public domain W3C validator