Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgmpl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgmpl 19441
 Description: A subring of the base ring induces a subring of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgmpl.s 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
subrgmpl.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
subrgmpl.u 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
subrgmpl.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
subrgmpl ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))

Proof of Theorem subrgmpl
StepHypRef Expression
1 subrgmpl.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 subrgmpl.h . . . 4 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
3 subrgmpl.u . . . 4 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
4 subrgmpl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑈)
5 simpl 473 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐼𝑉)
6 simpr 477 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
7 eqid 2620 . . . 4 (𝐼 mPwSer 𝐻) = (𝐼 mPwSer 𝐻)
8 eqid 2620 . . . 4 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
9 eqid 2620 . . . 4 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ressmplbas2 19436 . . 3 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 = ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∩ (Base‘𝑆)))
11 eqid 2620 . . . . 5 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
1211, 2, 7, 8subrgpsr 19400 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
13 subrgrcl 18766 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
1413adantl 482 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
1511, 1, 9, 5, 14mplsubrg 19421 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (Base‘𝑆) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
16 subrgin 18784 . . . 4 (((Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (Base‘𝑆) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∩ (Base‘𝑆)) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
1712, 15, 16syl2anc 692 . . 3 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∩ (Base‘𝑆)) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
1810, 17eqeltrd 2699 . 2 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
19 inss2 3826 . . 3 ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∩ (Base‘𝑆)) ⊆ (Base‘𝑆)
2010, 19syl6eqss 3647 . 2 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
211, 11, 9mplval2 19412 . . . 4 𝑆 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑆))
2221subsubrg 18787 . . 3 ((Base‘𝑆) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))))
2315, 22syl 17 . 2 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))))
2418, 20, 23mpbir2and 956 1 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988   ∩ cin 3566   ⊆ wss 3567  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  Basecbs 15838   ↾s cress 15839  Ringcrg 18528  SubRingcsubrg 18757   mPwSer cmps 19332   mPoly cmpl 19334 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-ofr 6883  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-oi 8400  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-hash 13101  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-tset 15941  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-mhm 17316  df-submnd 17317  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-mulg 17522  df-subg 17572  df-ghm 17639  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-abl 18177  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-subrg 18759  df-psr 19337  df-mpl 19339 This theorem is referenced by:  subrgply1  19584
 Copyright terms: Public domain W3C validator