MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgmpl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgmpl 19223
Description: A subring of the base ring induces a subring of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgmpl.s 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
subrgmpl.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
subrgmpl.u 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
subrgmpl.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
subrgmpl ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))

Proof of Theorem subrgmpl
StepHypRef Expression
1 subrgmpl.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 subrgmpl.h . . . 4 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
3 subrgmpl.u . . . 4 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
4 subrgmpl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑈)
5 simpl 471 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐼𝑉)
6 simpr 475 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
7 eqid 2605 . . . 4 (𝐼 mPwSer 𝐻) = (𝐼 mPwSer 𝐻)
8 eqid 2605 . . . 4 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
9 eqid 2605 . . . 4 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ressmplbas2 19218 . . 3 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 = ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∩ (Base‘𝑆)))
11 eqid 2605 . . . . 5 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
1211, 2, 7, 8subrgpsr 19182 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
13 subrgrcl 18550 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
1413adantl 480 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
1511, 1, 9, 5, 14mplsubrg 19203 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (Base‘𝑆) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
16 subrgin 18568 . . . 4 (((Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (Base‘𝑆) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∩ (Base‘𝑆)) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
1712, 15, 16syl2anc 690 . . 3 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∩ (Base‘𝑆)) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
1810, 17eqeltrd 2683 . 2 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
19 inss2 3791 . . 3 ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∩ (Base‘𝑆)) ⊆ (Base‘𝑆)
2010, 19syl6eqss 3613 . 2 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
211, 11, 9mplval2 19194 . . . 4 𝑆 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑆))
2221subsubrg 18571 . . 3 ((Base‘𝑆) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))))
2315, 22syl 17 . 2 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))))
2418, 20, 23mpbir2and 958 1 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  cin 3534  wss 3535  cfv 5786  (class class class)co 6523  Basecbs 15637  s cress 15638  Ringcrg 18312  SubRingcsubrg 18541   mPwSer cmps 19114   mPoly cmpl 19116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-iin 4448  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-ofr 6769  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-supp 7156  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-2o 7421  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-pm 7720  df-ixp 7768  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fsupp 8132  df-oi 8271  df-card 8621  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-seq 12615  df-hash 12931  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-tset 15729  df-0g 15867  df-gsum 15868  df-mre 16011  df-mrc 16012  df-acs 16014  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-mhm 17100  df-submnd 17101  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-mulg 17306  df-subg 17356  df-ghm 17423  df-cntz 17515  df-cmn 17960  df-abl 17961  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-ring 18314  df-subrg 18543  df-psr 19119  df-mpl 19121
This theorem is referenced by:  subrgply1  19366
  Copyright terms: Public domain W3C validator