Theorem subrgmvrf 20245

Description: The variables in a polynomial algebra are contained in every subring algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgmvr.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
subrgmvr.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
subrgmvr.r	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
subrgmvr.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
subrgmvrf.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
subrgmvrf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
subrgmvrf	⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶𝐵)

Proof of Theorem subrgmvrf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		subrgmvr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
3		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
4		subrgmvr.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		subrgmvr.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
6		subrgrcl 19542	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8	1, 2, 3, 4, 7	mvrf 20206	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶(Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
9	8	ffnd 6517	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 Fn 𝐼)
10		subrgmvr.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
11	2, 4, 5, 10	subrgmvr 20244	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝐼 mVar 𝐻))
12	11	fveq1d 6674	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑥) = ((𝐼 mVar 𝐻)‘𝑥))
13	12	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑉‘𝑥) = ((𝐼 mVar 𝐻)‘𝑥))
14		subrgmvrf.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
15		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mVar 𝐻) = (𝐼 mVar 𝐻)
16		subrgmvrf.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
17	4	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
18	10	subrgring 19540	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐻 ∈ Ring)
19	5, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Ring)
20	19	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐻 ∈ Ring)
21		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
22	14, 15, 16, 17, 20, 21	mvrcl 20231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 mVar 𝐻)‘𝑥) ∈ 𝐵)
23	13, 22	eqeltrd 2915	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑉‘𝑥) ∈ 𝐵)
24	23	ralrimiva 3184	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑉‘𝑥) ∈ 𝐵)
25		ffnfv 6884	. 2 ⊢ (𝑉:𝐼⟶𝐵 ↔ (𝑉 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑉‘𝑥) ∈ 𝐵))
26	9, 24, 25	sylanbrc 585	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140   Fn wfn 6352  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485   ↾_s cress 16486  Ringcrg 19299  SubRingcsubrg 19533   mPwSer cmps 20133   mVar cmvr 20134   mPoly cmpl 20135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-tset 16586  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-subg 18278  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-subrg 19535  df-psr 20138  df-mvr 20139  df-mpl 20140

This theorem is referenced by:  subrgvr1cl  20432