Theorem subrgpropd 19573

Description: If two structures have the same group components (properties), they have the same set of subrings. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
subrgpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
subrgpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
subrgpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
subrgpropd	⊢ (𝜑 → (SubRing‘𝐾) = (SubRing‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦

Proof of Theorem subrgpropd

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgpropd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		subrgpropd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		subrgpropd.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
4		subrgpropd.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
5	1, 2, 3, 4	ringpropd 19335	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
6	1	ineq2d 4192	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∩ 𝐵) = (𝑠 ∩ (Base‘𝐾)))
7		eqid 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ↾s 𝑠) = (𝐾 ↾s 𝑠)
8		eqid 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
9	7, 8	ressbas 16557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ V → (𝑠 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝑠)))
10	9	elv 3502	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝑠))
11	6, 10	syl6eq 2875	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∩ 𝐵) = (Base‘(𝐾 ↾s 𝑠)))
12	2	ineq2d 4192	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∩ 𝐵) = (𝑠 ∩ (Base‘𝐿)))
13		eqid 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ↾s 𝑠) = (𝐿 ↾s 𝑠)
14		eqid 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
15	13, 14	ressbas 16557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ V → (𝑠 ∩ (Base‘𝐿)) = (Base‘(𝐿 ↾s 𝑠)))
16	15	elv 3502	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∩ (Base‘𝐿)) = (Base‘(𝐿 ↾s 𝑠))
17	12, 16	syl6eq 2875	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∩ 𝐵) = (Base‘(𝐿 ↾s 𝑠)))
18		elinel2 4176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19		elinel2 4176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
20	18, 19	anim12i 614	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
21		eqid 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘𝐾)
22	7, 21	ressplusg 16615	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ V → (+g‘𝐾) = (+g‘(𝐾 ↾s 𝑠)))
23	22	elv 3502	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐾) = (+g‘(𝐾 ↾s 𝑠))
24	23	oveqi 7172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦)
25		eqid 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘𝐿)
26	13, 25	ressplusg 16615	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ V → (+g‘𝐿) = (+g‘(𝐿 ↾s 𝑠)))
27	26	elv 3502	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐿) = (+g‘(𝐿 ↾s 𝑠))
28	27	oveqi 7172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(+g‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦)
29	3, 24, 28	3eqtr3g 2882	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦))
30	20, 29	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵))) → (𝑥(+g‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦))
31		eqid 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
32	7, 31	ressmulr 16628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ V → (.r‘𝐾) = (.r‘(𝐾 ↾s 𝑠)))
33	32	elv 3502	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘(𝐾 ↾s 𝑠))
34	33	oveqi 7172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦)
35		eqid 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
36	13, 35	ressmulr 16628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ V → (.r‘𝐿) = (.r‘(𝐿 ↾s 𝑠)))
37	36	elv 3502	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘(𝐿 ↾s 𝑠))
38	37	oveqi 7172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦)
39	4, 34, 38	3eqtr3g 2882	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦))
40	20, 39	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑠 ∩ 𝐵))) → (𝑥(.r‘(𝐾 ↾s 𝑠))𝑦) = (𝑥(.r‘(𝐿 ↾s 𝑠))𝑦))
41	11, 17, 30, 40	ringpropd 19335	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↾s 𝑠) ∈ Ring ↔ (𝐿 ↾s 𝑠) ∈ Ring))
42	5, 41	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↾s 𝑠) ∈ Ring) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐿 ↾s 𝑠) ∈ Ring)))
43	1, 2	eqtr3d 2861	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
44	43	sseq2d 4002	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ⊆ (Base‘𝐾) ↔ 𝑠 ⊆ (Base‘𝐿)))
45	1, 2, 4	rngidpropd 19448	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐾) = (1r‘𝐿))
46	45	eleq1d 2900	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐾) ∈ 𝑠 ↔ (1r‘𝐿) ∈ 𝑠))
47	44, 46	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ (1r‘𝐾) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ⊆ (Base‘𝐿) ∧ (1r‘𝐿) ∈ 𝑠)))
48	42, 47	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↾s 𝑠) ∈ Ring) ∧ (𝑠 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ (1r‘𝐾) ∈ 𝑠)) ↔ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐿 ↾s 𝑠) ∈ Ring) ∧ (𝑠 ⊆ (Base‘𝐿) ∧ (1r‘𝐿) ∈ 𝑠))))
49		eqid 2824	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐾) = (1r‘𝐾)
50	8, 49	issubrg 19538	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝐾) ↔ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↾s 𝑠) ∈ Ring) ∧ (𝑠 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ (1r‘𝐾) ∈ 𝑠)))
51		eqid 2824	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
52	14, 51	issubrg 19538	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝐿) ↔ ((𝐿 ∈ Ring ∧ (𝐿 ↾s 𝑠) ∈ Ring) ∧ (𝑠 ⊆ (Base‘𝐿) ∧ (1r‘𝐿) ∈ 𝑠)))
53	48, 50, 52	3bitr4g 316	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (SubRing‘𝐾) ↔ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝐿)))
54	53	eqrdv 2822	1 ⊢ (𝜑 → (SubRing‘𝐾) = (SubRing‘𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  Vcvv 3497   ∩ cin 3938   ⊆ wss 3939  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  Basecbs 16486   ↾_s cress 16487  +_gcplusg 16568  ._rcmulr 16569  1_rcur 19254  Ringcrg 19300  SubRingcsubrg 19534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-0g 16718  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-grp 18109  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-subrg 19536

This theorem is referenced by:  ply1subrg  20368  subrgply1  20404  srasubrg  30993