MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgring 18715
Description: A subring is a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgring.1 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
Assertion
Ref Expression
subrgring (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)

Proof of Theorem subrgring
StepHypRef Expression
1 subrgring.1 . 2 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
2 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 eqid 2621 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
42, 3issubrg 18712 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐴)))
54simplbi 476 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅s 𝐴) ∈ Ring))
65simprd 479 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅s 𝐴) ∈ Ring)
71, 6syl5eqel 2702 1 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3559  cfv 5852  (class class class)co 6610  Basecbs 15792  s cress 15793  1rcur 18433  Ringcrg 18479  SubRingcsubrg 18708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fv 5860  df-ov 6613  df-subrg 18710
This theorem is referenced by:  subrgcrng  18716  subrgsubg  18718  subrg1  18722  subrgmcl  18724  subrgsubm  18725  subrguss  18727  subrginv  18728  subrgunit  18730  subrgugrp  18731  issubdrg  18737  subsubrg  18738  resrhm  18741  abvres  18771  sralmod  19119  subrgnzr  19200  issubassa  19256  subrgpsr  19351  mplring  19384  subrgmvrf  19394  subrgascl  19430  subrgasclcl  19431  evlssca  19454  evlsvar  19455  mpfconst  19462  mpfproj  19463  mpfsubrg  19464  gsumply1subr  19536  ply1ring  19550  evls1sca  19620  evls1gsumadd  19621  evls1varpw  19623  gzrngunitlem  19743  gzrngunit  19744  dmatcrng  20240  scmatcrng  20259  scmatsgrp1  20260  scmatsrng1  20261  scmatmhm  20272  scmatrhm  20273  scmatrngiso  20274  m2cpmrhm  20483  isclmp  22820  reefgim  24125  amgmlem  24633  amgmwlem  41877
  Copyright terms: Public domain W3C validator