MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgss 18702
Description: A subring is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgss.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
subrgss (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem subrgss
StepHypRef Expression
1 subrgss.1 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2621 . . . 4 (1r𝑅) = (1r𝑅)
31, 2issubrg 18701 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐴)))
43simprbi 480 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐴𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐴))
54simpld 475 1 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3555  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  s cress 15782  1rcur 18422  Ringcrg 18468  SubRingcsubrg 18697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fv 5855  df-ov 6607  df-subrg 18699
This theorem is referenced by:  subrgsubg  18707  subrg1  18711  subrgsubm  18714  subrgdvds  18715  subrguss  18716  subrginv  18717  subrgdv  18718  subrgmre  18725  issubdrg  18726  subsubrg  18727  abvres  18760  sralmod  19106  issubassa  19243  sraassa  19244  aspid  19249  issubassa2  19264  resspsrbas  19334  resspsradd  19335  resspsrmul  19336  resspsrvsca  19337  mplassa  19373  ressmplbas2  19374  subrgascl  19417  subrgasclcl  19418  mplind  19421  evlsval2  19439  evlssca  19441  evlsscasrng  19445  mpfconst  19449  mpff  19452  mpfaddcl  19453  mpfmulcl  19454  mpfind  19455  ply1assa  19488  evls1val  19604  evls1rhm  19606  evls1sca  19607  evls1scasrng  19622  pf1f  19633  cnsubrg  19725  sranlm  22398  clmsscn  22787  cphreccllem  22886  cphdivcl  22890  cphabscl  22893  cphsqrtcl2  22894  cphsqrtcl3  22895  cphipcl  22899  4cphipval2  22949  resscdrg  23062  srabn  23064  plypf1  23872  dvply2g  23944  taylply2  24026  cnsrexpcl  37213  fsumcnsrcl  37214  cnsrplycl  37215  rgspnid  37220  rngunsnply  37221  sdrgacs  37249
  Copyright terms: Public domain W3C validator