Theorem subrgss 19535

Description: A subring is a subset. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgss.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrgss	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem subrgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgss.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	1, 2	issubrg 19534	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴)))
4	3	simprbi 499	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴))
5	4	simpld 497	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3935  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  Basecbs 16482   ↾_s cress 16483  1_rcur 19250  Ringcrg 19296  SubRingcsubrg 19530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fv 6362  df-ov 7158  df-subrg 19532

This theorem is referenced by:  subrgsubg  19540  subrg1  19544  subrgsubm  19547  subrgdvds  19548  subrguss  19549  subrginv  19550  subrgdv  19551  subrgmre  19558  issubdrg  19559  subsubrg  19560  sdrgss  19575  sdrgacs  19579  subdrgint  19581  abvres  19609  sralmod  19958  issubassa3  20096  sraassa  20098  aspid  20103  issubassa2  20120  resspsrbas  20194  resspsradd  20195  resspsrmul  20196  resspsrvsca  20197  mplassa  20234  ressmplbas2  20235  subrgascl  20277  subrgasclcl  20278  mplind  20281  evlsval2  20299  evlssca  20301  evlsscasrng  20309  mpfconst  20313  mpff  20316  mpfaddcl  20317  mpfmulcl  20318  mpfind  20319  ply1assa  20366  evls1val  20482  evls1rhm  20484  evls1sca  20485  evls1scasrng  20501  pf1f  20512  cnsubrg  20604  sranlm  23292  clmsscn  23682  cphreccllem  23781  cphdivcl  23785  cphabscl  23788  cphsqrtcl2  23789  cphsqrtcl3  23790  cphipcl  23794  4cphipval2  23844  resscdrg  23960  srabn  23962  plypf1  24801  dvply2g  24873  taylply2  24955  sralvec  30990  drgext0g  30992  drgextvsca  30993  drgext0gsca  30994  drgextsubrg  30995  drgextlsp  30996  drgextgsum  30997  fedgmullem1  31025  fedgmullem2  31026  fedgmul  31027  extdggt0  31047  fldexttr  31048  extdg1id  31053  selvval2lem4  39134  cnsrexpcl  39763  fsumcnsrcl  39764  cnsrplycl  39765  rgspnid  39770  rngunsnply  39771