MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subsq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subsq 12912
Description: Factor the difference of two squares. (Contributed by NM, 21-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
subsq ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))

Proof of Theorem subsq
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 simpr 477 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3 subcl 10224 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
41, 2, 3adddird 10009 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)) = ((𝐴 · (𝐴𝐵)) + (𝐵 · (𝐴𝐵))))
5 subdi 10407 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐴𝐵)) = ((𝐴 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)))
653anidm12 1380 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐴𝐵)) = ((𝐴 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)))
7 sqval 12862 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
87adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
98oveq1d 6619 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)))
106, 9eqtr4d 2658 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐴𝐵)) = ((𝐴↑2) − (𝐴 · 𝐵)))
112, 1, 2subdid 10430 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · (𝐴𝐵)) = ((𝐵 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵)))
12 mulcom 9966 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
13 sqval 12862 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
1413adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
1512, 14oveq12d 6622 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) − (𝐵↑2)) = ((𝐵 · 𝐴) − (𝐵 · 𝐵)))
1611, 15eqtr4d 2658 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · (𝐴𝐵)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐵↑2)))
1710, 16oveq12d 6622 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (𝐴𝐵)) + (𝐵 · (𝐴𝐵))) = (((𝐴↑2) − (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐵) − (𝐵↑2))))
18 sqcl 12865 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
1918adantr 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
20 mulcl 9964 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
21 sqcl 12865 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
2221adantl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
2319, 20, 22npncand 10360 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) − (𝐴 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐵) − (𝐵↑2))) = ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)))
244, 17, 233eqtrrd 2660 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − (𝐵↑2)) = ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6604  cc 9878   + caddc 9883   · cmul 9885  cmin 10210  2c2 11014  cexp 12800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-seq 12742  df-exp 12801
This theorem is referenced by:  subsq2  12913  subsqi  12915  pythagtriplem4  15448  pythagtriplem6  15450  pythagtriplem7  15451  pythagtriplem12  15455  pythagtriplem14  15457  pythagtriplem16  15459  difsqpwdvds  15515  4sqlem8  15573  4sqlem10  15575  4sqlem11  15583  chordthmlem4  24462  heron  24465  dcubic2  24471  cubic  24476  dquart  24480  asinlem2  24496  asinsin  24519  efiatan2  24544  atans2  24558  dvatan  24562  wilthlem1  24694  lgslem1  24922  lgsqrlem2  24972  2sqlem4  25046  2sqblem  25056  rplogsumlem1  25073  2sqmod  29433  pellexlem2  36874  pell1234qrne0  36897  pell1234qrreccl  36898  pell1234qrmulcl  36899  pell14qrdich  36913  rmxyneg  36965  stoweidlem1  39525
  Copyright terms: Public domain W3C validator