MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subsub4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subsub4 10165
Description: Law for double subtraction. (Contributed by NM, 19-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
subsub4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem subsub4
StepHypRef Expression
1 nppcan2 10163 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − (𝐵 + 𝐶)) + 𝐶) = (𝐴𝐵))
2 simp1 1053 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 simp2 1054 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
4 subcl 10131 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
52, 3, 4syl2anc 690 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
6 simp3 1055 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
73, 6addcld 9915 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
8 subcl 10131 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)) ∈ ℂ)
92, 7, 8syl2anc 690 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)) ∈ ℂ)
10 subadd2 10136 . . 3 (((𝐴𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)) ∈ ℂ) → (((𝐴𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)) ↔ ((𝐴 − (𝐵 + 𝐶)) + 𝐶) = (𝐴𝐵)))
115, 6, 9, 10syl3anc 1317 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)) ↔ ((𝐴 − (𝐵 + 𝐶)) + 𝐶) = (𝐴𝐵)))
121, 11mpbird 245 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  (class class class)co 6527  cc 9790   + caddc 9795  cmin 10117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-ltxr 9935  df-sub 10119
This theorem is referenced by:  sub32  10166  nnncan  10167  pnpcan  10171  addsub4  10175  subsub4d  10274  2shfti  13614  divalglem2  14902  nn0seqcvgd  15067  plydivlem4  23772  ax5seglem7  25533  itg2addnclem3  32429
  Copyright terms: Public domain W3C validator