MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subsub4d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subsub4d 10274
Description: Law for double subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
subsub4d (𝜑 → ((𝐴𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))

Proof of Theorem subsub4d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 subaddd.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 subsub4 10165 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1317 1 (𝜑 → ((𝐴𝐵) − 𝐶) = (𝐴 − (𝐵 + 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  (class class class)co 6527  cc 9790   + caddc 9795  cmin 10117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-ltxr 9935  df-sub 10119
This theorem is referenced by:  sub1m1  11131  cnm2m1cnm3  11132  nn0n0n1ge2  11205  ubmelm1fzo  12385  hashf1  13050  ccatass  13170  isercolllem1  14189  caucvgrlem  14197  fsumparts  14325  incexclem  14353  arisum2  14378  bpolydiflem  14570  bpoly4  14575  sin01bnd  14700  cos01bnd  14701  vdwlem5  15473  vdwlem8  15476  efgredleme  17925  opnreen  22374  pjthlem1  22933  dveflem  23463  dvcvx  23504  dvfsumlem1  23510  efif1olem2  24010  tanarg  24086  dcubic1  24289  dquartlem1  24295  tanatan  24363  atans2  24375  harmonicbnd4  24454  basellem5  24528  logfaclbnd  24664  bcmono  24719  lgsquadlem1  24822  mulogsumlem  24937  mulog2sumlem1  24940  vmalogdivsum  24945  selbergr  24974  selberg3r  24975  brbtwn2  25503  colinearalglem1  25504  colinearalglem2  25505  colinearalglem4  25507  ax5seglem1  25526  clwlkisclwwlklem2a4  26078  clwlkisclwwlklem2a  26079  clwwlkext2edg  26096  nbhashuvtx1  26208  extwwlkfablem2  26371  numclwwlkovf2ex  26379  pjhthlem1  27440  lt2addrd  28709  ballotlemfp1  29686  signstfveq0  29786  bcprod  30683  dnibndlem10  31453  suplesup  38293  fperdvper  38605  dvnxpaek  38629  itgsinexp  38643  stoweidlem26  38716  stoweidlem34  38724  stirlinglem5  38768  fourierdlem26  38823  fourierdlem107  38903  vonioolem1  39368  pwdif  39837  clwlkclwwlklem2a4  41201  clwlkclwwlklem2a  41202  clwwlksext2edg  41225  av-numclwwlkovf2ex  41512  dignn0flhalflem1  42202
  Copyright terms: Public domain W3C validator