Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subsubelfzo0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subsubelfzo0 41864
Description: Subtracting a difference from a number which is not less than the difference results in a bounded nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
subsubelfzo0 ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → (𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (0..^𝐴))

Proof of Theorem subsubelfzo0
StepHypRef Expression
1 elfzo0 12723 . . . 4 (𝐴 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑁))
2 elfzo0 12723 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
3 nnre 11239 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
433ad2ant2 1129 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
5 nn0re 11513 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
65adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
7 resubcl 10557 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
84, 6, 7syl2anr 496 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
9 nn0re 11513 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℝ)
1093ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝐼 ∈ ℝ)
1110adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → 𝐼 ∈ ℝ)
12 lenlt 10328 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((𝑁𝐴) ≤ 𝐼 ↔ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)))
1312bicomd 213 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (¬ 𝐼 < (𝑁𝐴) ↔ (𝑁𝐴) ≤ 𝐼))
148, 11, 13syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (¬ 𝐼 < (𝑁𝐴) ↔ (𝑁𝐴) ≤ 𝐼))
1514biimpa 502 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → (𝑁𝐴) ≤ 𝐼)
16 nnz 11611 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
17163ad2ant2 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
18 nn0z 11612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
1918adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
20 zsubcl 11631 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁𝐴) ∈ ℤ)
2117, 19, 20syl2anr 496 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝑁𝐴) ∈ ℤ)
22 ltle 10338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑁𝐴𝑁))
235, 4, 22syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝐴 < 𝑁𝐴𝑁))
2423impancom 455 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) → ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝐴𝑁))
2524imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → 𝐴𝑁)
26 subge0 10753 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁𝐴) ↔ 𝐴𝑁))
274, 6, 26syl2anr 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (0 ≤ (𝑁𝐴) ↔ 𝐴𝑁))
2825, 27mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → 0 ≤ (𝑁𝐴))
29 elnn0z 11602 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁𝐴)))
3021, 28, 29sylanbrc 701 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝑁𝐴) ∈ ℕ0)
3130adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → (𝑁𝐴) ∈ ℕ0)
32 simplr1 1261 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
33 nn0sub 11555 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁𝐴) ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝐴) ≤ 𝐼 ↔ (𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ ℕ0))
3431, 32, 33syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → ((𝑁𝐴) ≤ 𝐼 ↔ (𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ ℕ0))
3515, 34mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → (𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ ℕ0)
36 elnn0uz 11938 . . . . . . . . 9 ((𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ ℕ0 ↔ (𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (ℤ‘0))
3735, 36sylib 208 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → (𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (ℤ‘0))
3819adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℤ)
3938adantr 472 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → 𝐴 ∈ ℤ)
409adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝐼 ∈ ℝ)
4140adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐼 ∈ ℝ)
423adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
4342adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
4442, 5, 7syl2anr 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
4541, 43, 44ltsub1d 10848 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼 < 𝑁 ↔ (𝐼 − (𝑁𝐴)) < (𝑁 − (𝑁𝐴))))
46 nncn 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
4746adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
48 nn0cn 11514 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ)
49 nncan 10522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑁 − (𝑁𝐴)) = 𝐴)
5047, 48, 49syl2anr 496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑁 − (𝑁𝐴)) = 𝐴)
5150breq2d 4816 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐼 − (𝑁𝐴)) < (𝑁 − (𝑁𝐴)) ↔ (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴))
5251biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐼 − (𝑁𝐴)) < (𝑁 − (𝑁𝐴)) → (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴))
5345, 52sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼 < 𝑁 → (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴))
5453ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 < 𝑁 → (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴)))
5554adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) → ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 < 𝑁 → (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴)))
5655com3l 89 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 < 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) → (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴)))
57563impia 1110 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) → (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴))
5857impcom 445 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴)
5958adantr 472 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴)
6037, 39, 593jca 1123 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → ((𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴))
6160exp31 631 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) → ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (¬ 𝐼 < (𝑁𝐴) → ((𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴))))
622, 61syl5bi 232 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (¬ 𝐼 < (𝑁𝐴) → ((𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴))))
63623adant2 1126 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (¬ 𝐼 < (𝑁𝐴) → ((𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴))))
641, 63sylbi 207 . . 3 (𝐴 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (¬ 𝐼 < (𝑁𝐴) → ((𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴))))
65643imp 1102 . 2 ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → ((𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴))
66 elfzo2 12687 . 2 ((𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (0..^𝐴) ↔ ((𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴))
6765, 66sylibr 224 1 ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → (𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (0..^𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148   < clt 10286  cle 10287  cmin 10478  cn 11232  0cn0 11504  cz 11589  cuz 11899  ..^cfzo 12679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator