Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subsubelfzo0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subsubelfzo0 40291
Description: Subtracting a difference from a number which is not less than the difference results in a bounded nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
subsubelfzo0 ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → (𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (0..^𝐴))

Proof of Theorem subsubelfzo0
StepHypRef Expression
1 elfzo0 12241 . . . 4 (𝐴 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑁))
2 elfzo0 12241 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
3 nnre 10780 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
433ad2ant2 1075 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
5 nn0re 11054 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
65adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
7 resubcl 10094 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
84, 6, 7syl2anr 493 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
9 nn0re 11054 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℝ)
1093ad2ant1 1074 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝐼 ∈ ℝ)
1110adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → 𝐼 ∈ ℝ)
12 lenlt 9864 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((𝑁𝐴) ≤ 𝐼 ↔ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)))
1312bicomd 211 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (¬ 𝐼 < (𝑁𝐴) ↔ (𝑁𝐴) ≤ 𝐼))
148, 11, 13syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (¬ 𝐼 < (𝑁𝐴) ↔ (𝑁𝐴) ≤ 𝐼))
1514biimpa 499 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → (𝑁𝐴) ≤ 𝐼)
16 nnz 11138 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
17163ad2ant2 1075 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
18 nn0z 11139 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
1918adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
20 zsubcl 11158 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁𝐴) ∈ ℤ)
2117, 19, 20syl2anr 493 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝑁𝐴) ∈ ℤ)
22 ltle 9874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑁𝐴𝑁))
235, 4, 22syl2an 492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝐴 < 𝑁𝐴𝑁))
2423impancom 454 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) → ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝐴𝑁))
2524imp 443 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → 𝐴𝑁)
26 subge0 10288 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁𝐴) ↔ 𝐴𝑁))
274, 6, 26syl2anr 493 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (0 ≤ (𝑁𝐴) ↔ 𝐴𝑁))
2825, 27mpbird 245 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → 0 ≤ (𝑁𝐴))
29 elnn0z 11129 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁𝐴)))
3021, 28, 29sylanbrc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝑁𝐴) ∈ ℕ0)
3130adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → (𝑁𝐴) ∈ ℕ0)
32 simplr1 1095 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
33 nn0sub 11096 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁𝐴) ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝐴) ≤ 𝐼 ↔ (𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ ℕ0))
3431, 32, 33syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → ((𝑁𝐴) ≤ 𝐼 ↔ (𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ ℕ0))
3515, 34mpbid 220 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → (𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ ℕ0)
36 elnn0uz 11461 . . . . . . . . 9 ((𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ ℕ0 ↔ (𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (ℤ‘0))
3735, 36sylib 206 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → (𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (ℤ‘0))
3819adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℤ)
3938adantr 479 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → 𝐴 ∈ ℤ)
409adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝐼 ∈ ℝ)
4140adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐼 ∈ ℝ)
423adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
4342adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
4442, 5, 7syl2anr 493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
4541, 43, 44ltsub1d 10383 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼 < 𝑁 ↔ (𝐼 − (𝑁𝐴)) < (𝑁 − (𝑁𝐴))))
46 nncn 10781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
4746adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
48 nn0cn 11055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ)
49 nncan 10059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑁 − (𝑁𝐴)) = 𝐴)
5047, 48, 49syl2anr 493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑁 − (𝑁𝐴)) = 𝐴)
5150breq2d 4493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐼 − (𝑁𝐴)) < (𝑁 − (𝑁𝐴)) ↔ (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴))
5251biimpd 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐼 − (𝑁𝐴)) < (𝑁 − (𝑁𝐴)) → (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴))
5345, 52sylbid 228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼 < 𝑁 → (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴))
5453ex 448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 < 𝑁 → (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴)))
5554adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) → ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 < 𝑁 → (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴)))
5655com3l 86 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 < 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) → (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴)))
57563impia 1252 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) → (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴))
5857impcom 444 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴)
5958adantr 479 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴)
6037, 39, 593jca 1234 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → ((𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴))
6160exp31 627 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) → ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (¬ 𝐼 < (𝑁𝐴) → ((𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴))))
622, 61syl5bi 230 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (¬ 𝐼 < (𝑁𝐴) → ((𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴))))
63623adant2 1072 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (¬ 𝐼 < (𝑁𝐴) → ((𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴))))
641, 63sylbi 205 . . 3 (𝐴 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (¬ 𝐼 < (𝑁𝐴) → ((𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴))))
65643imp 1248 . 2 ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → ((𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴))
66 elfzo2 12207 . 2 ((𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (0..^𝐴) ↔ ((𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴))
6765, 66sylibr 222 1 ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → (𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (0..^𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1938   class class class wbr 4481  cfv 5689  (class class class)co 6425  cc 9687  cr 9688  0cc0 9689   < clt 9827  cle 9828  cmin 10015  cn 10773  0cn0 11045  cz 11116  cuz 11423  ..^cfzo 12199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6721  ax-cnex 9745  ax-resscn 9746  ax-1cn 9747  ax-icn 9748  ax-addcl 9749  ax-addrcl 9750  ax-mulcl 9751  ax-mulrcl 9752  ax-mulcom 9753  ax-addass 9754  ax-mulass 9755  ax-distr 9756  ax-i2m1 9757  ax-1ne0 9758  ax-1rid 9759  ax-rnegex 9760  ax-rrecex 9761  ax-cnre 9762  ax-pre-lttri 9763  ax-pre-lttrn 9764  ax-pre-ltadd 9765  ax-pre-mulgt0 9766
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-om 6832  df-1st 6932  df-2nd 6933  df-wrecs 7167  df-recs 7229  df-rdg 7267  df-er 7503  df-en 7716  df-dom 7717  df-sdom 7718  df-pnf 9829  df-mnf 9830  df-xr 9831  df-ltxr 9832  df-le 9833  df-sub 10017  df-neg 10018  df-nn 10774  df-n0 11046  df-z 11117  df-uz 11424  df-fz 12063  df-fzo 12200
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator