Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subsubelfzo0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subsubelfzo0 43403
Description: Subtracting a difference from a number which is not less than the difference results in a bounded nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
subsubelfzo0 ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → (𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (0..^𝐴))

Proof of Theorem subsubelfzo0
StepHypRef Expression
1 elfzo0 13066 . . . 4 (𝐴 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑁))
2 elfzo0 13066 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
3 nnre 11633 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
433ad2ant2 1126 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
5 nn0re 11894 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
65adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
7 resubcl 10938 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
84, 6, 7syl2anr 596 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
9 nn0re 11894 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℝ)
1093ad2ant1 1125 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝐼 ∈ ℝ)
1110adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → 𝐼 ∈ ℝ)
12 lenlt 10707 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → ((𝑁𝐴) ≤ 𝐼 ↔ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)))
1312bicomd 224 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → (¬ 𝐼 < (𝑁𝐴) ↔ (𝑁𝐴) ≤ 𝐼))
148, 11, 13syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (¬ 𝐼 < (𝑁𝐴) ↔ (𝑁𝐴) ≤ 𝐼))
1514biimpa 477 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → (𝑁𝐴) ≤ 𝐼)
16 nnz 11992 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
17163ad2ant2 1126 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
18 nn0z 11993 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
1918adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℤ)
20 zsubcl 12012 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝑁𝐴) ∈ ℤ)
2117, 19, 20syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝑁𝐴) ∈ ℤ)
22 ltle 10717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑁𝐴𝑁))
235, 4, 22syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝐴 < 𝑁𝐴𝑁))
2423impancom 452 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) → ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝐴𝑁))
2524imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → 𝐴𝑁)
26 subge0 11141 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁𝐴) ↔ 𝐴𝑁))
274, 6, 26syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (0 ≤ (𝑁𝐴) ↔ 𝐴𝑁))
2825, 27mpbird 258 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → 0 ≤ (𝑁𝐴))
29 elnn0z 11982 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁𝐴)))
3021, 28, 29sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝑁𝐴) ∈ ℕ0)
3130adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → (𝑁𝐴) ∈ ℕ0)
32 simplr1 1207 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → 𝐼 ∈ ℕ0)
33 nn0sub 11935 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁𝐴) ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝐴) ≤ 𝐼 ↔ (𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ ℕ0))
3431, 32, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → ((𝑁𝐴) ≤ 𝐼 ↔ (𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ ℕ0))
3515, 34mpbid 233 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → (𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ ℕ0)
36 elnn0uz 12271 . . . . . . . . 9 ((𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ ℕ0 ↔ (𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (ℤ‘0))
3735, 36sylib 219 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → (𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (ℤ‘0))
3819adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → 𝐴 ∈ ℤ)
3938adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → 𝐴 ∈ ℤ)
409adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝐼 ∈ ℝ)
4140adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐼 ∈ ℝ)
423adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
4342adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
4442, 5, 7syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
4541, 43, 44ltsub1d 11237 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼 < 𝑁 ↔ (𝐼 − (𝑁𝐴)) < (𝑁 − (𝑁𝐴))))
46 nncn 11634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
4746adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
48 nn0cn 11895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ)
49 nncan 10903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑁 − (𝑁𝐴)) = 𝐴)
5047, 48, 49syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑁 − (𝑁𝐴)) = 𝐴)
5150breq2d 5069 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐼 − (𝑁𝐴)) < (𝑁 − (𝑁𝐴)) ↔ (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴))
5251biimpd 230 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐼 − (𝑁𝐴)) < (𝑁 − (𝑁𝐴)) → (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴))
5345, 52sylbid 241 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼 < 𝑁 → (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴))
5453ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 < 𝑁 → (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴)))
5554adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) → ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 < 𝑁 → (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴)))
5655com3l 89 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼 < 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) → (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴)))
57563impia 1109 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) → (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴))
5857impcom 408 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) → (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴)
5958adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴)
6037, 39, 593jca 1120 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) ∧ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁)) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → ((𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴))
6160exp31 420 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) → ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (¬ 𝐼 < (𝑁𝐴) → ((𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴))))
622, 61syl5bi 243 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐴 < 𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (¬ 𝐼 < (𝑁𝐴) → ((𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴))))
63623adant2 1123 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (¬ 𝐼 < (𝑁𝐴) → ((𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴))))
641, 63sylbi 218 . . 3 (𝐴 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (¬ 𝐼 < (𝑁𝐴) → ((𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴))))
65643imp 1103 . 2 ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → ((𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴))
66 elfzo2 13029 . 2 ((𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (0..^𝐴) ↔ ((𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐼 − (𝑁𝐴)) < 𝐴))
6765, 66sylibr 235 1 ((𝐴 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ ¬ 𝐼 < (𝑁𝐴)) → (𝐼 − (𝑁𝐴)) ∈ (0..^𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  cn 11626  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  ..^cfzo 13021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator