MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subsubrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subsubrg 18746
Description: A subring of a subring is a subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subsubrg.s 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
Assertion
Ref Expression
subsubrg (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)))

Proof of Theorem subsubrg
StepHypRef Expression
1 subrgrcl 18725 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
21adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
3 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
43subrgss 18721 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
54adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
6 subsubrg.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
76subrgbas 18729 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
87adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
95, 8sseqtr4d 3627 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝐵𝐴)
106oveq1i 6625 . . . . . . . 8 (𝑆s 𝐵) = ((𝑅s 𝐴) ↾s 𝐵)
11 ressabs 15879 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴) → ((𝑅s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝑅s 𝐵))
1210, 11syl5eq 2667 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑆s 𝐵) = (𝑅s 𝐵))
139, 12syldan 487 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑆s 𝐵) = (𝑅s 𝐵))
14 eqid 2621 . . . . . . . 8 (𝑆s 𝐵) = (𝑆s 𝐵)
1514subrgring 18723 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑆s 𝐵) ∈ Ring)
1615adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑆s 𝐵) ∈ Ring)
1713, 16eqeltrrd 2699 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑅s 𝐵) ∈ Ring)
182, 17jca 554 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅s 𝐵) ∈ Ring))
19 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2019subrgss 18721 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
2120adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
229, 21sstrd 3598 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑅))
23 eqid 2621 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
246, 23subrg1 18730 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r𝑅) = (1r𝑆))
2524adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (1r𝑅) = (1r𝑆))
26 eqid 2621 . . . . . . . 8 (1r𝑆) = (1r𝑆)
2726subrg1cl 18728 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → (1r𝑆) ∈ 𝐵)
2827adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (1r𝑆) ∈ 𝐵)
2925, 28eqeltrd 2698 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
3022, 29jca 554 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐵 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵))
3119, 23issubrg 18720 . . . 4 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅s 𝐵) ∈ Ring) ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵)))
3218, 30, 31sylanbrc 697 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
3332, 9jca 554 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴))
346subrgring 18723 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
3534adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → 𝑆 ∈ Ring)
3612adantrl 751 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → (𝑆s 𝐵) = (𝑅s 𝐵))
37 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑅s 𝐵) = (𝑅s 𝐵)
3837subrgring 18723 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅s 𝐵) ∈ Ring)
3938ad2antrl 763 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → (𝑅s 𝐵) ∈ Ring)
4036, 39eqeltrd 2698 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → (𝑆s 𝐵) ∈ Ring)
4135, 40jca 554 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → (𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑆s 𝐵) ∈ Ring))
42 simprr 795 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → 𝐵𝐴)
437adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
4442, 43sseqtrd 3626 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
4524adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → (1r𝑅) = (1r𝑆))
4623subrg1cl 18728 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
4746ad2antrl 763 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
4845, 47eqeltrrd 2699 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → (1r𝑆) ∈ 𝐵)
4944, 48jca 554 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → (𝐵 ⊆ (Base‘𝑆) ∧ (1r𝑆) ∈ 𝐵))
503, 26issubrg 18720 . . 3 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑆s 𝐵) ∈ Ring) ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑆) ∧ (1r𝑆) ∈ 𝐵)))
5141, 49, 50sylanbrc 697 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
5233, 51impbida 876 1 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3560  cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  s cress 15801  1rcur 18441  Ringcrg 18487  SubRingcsubrg 18716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-subg 17531  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-subrg 18718
This theorem is referenced by:  subsubrg2  18747  subrgmpl  19400  mplbas2  19410  mplind  19442  zringunit  19776  rzgrp  24238
  Copyright terms: Public domain W3C validator