MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sucelon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sucelon 7182
Description: The successor of an ordinal number is an ordinal number. (Contributed by NM, 9-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
sucelon (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem sucelon
StepHypRef Expression
1 ordsuc 7179 . . 3 (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
2 sucexb 7174 . . 3 (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
31, 2anbi12i 735 . 2 ((Ord 𝐴𝐴 ∈ V) ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
4 elon2 5895 . 2 (𝐴 ∈ On ↔ (Ord 𝐴𝐴 ∈ V))
5 elon2 5895 . 2 (suc 𝐴 ∈ On ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
63, 4, 53bitr4i 292 1 (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383  wcel 2139  Vcvv 3340  Ord word 5883  Oncon0 5884  suc csuc 5886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-tr 4905  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-ord 5887  df-on 5888  df-suc 5890
This theorem is referenced by:  onsucmin  7186  tfindsg2  7226  oaordi  7795  oalimcl  7809  omlimcl  7827  omeulem1  7831  oeordsuc  7843  infensuc  8303  cantnflem1b  8756  cantnflem1  8759  r1ordg  8814  alephnbtwn  9084  cfsuc  9271  alephsuc3  9594  alephreg  9596  bdayimaon  32149  nosupbnd1lem1  32160  nosupbnd1  32166  nosupbnd2lem1  32167  nosupbnd2  32168
  Copyright terms: Public domain W3C validator