MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sucelon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sucelon 7521
Description: The successor of an ordinal number is an ordinal number. (Contributed by NM, 9-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
sucelon (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem sucelon
StepHypRef Expression
1 ordsuc 7518 . . 3 (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
2 sucexb 7513 . . 3 (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
31, 2anbi12i 626 . 2 ((Ord 𝐴𝐴 ∈ V) ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
4 elon2 6195 . 2 (𝐴 ∈ On ↔ (Ord 𝐴𝐴 ∈ V))
5 elon2 6195 . 2 (suc 𝐴 ∈ On ↔ (Ord suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V))
63, 4, 53bitr4i 304 1 (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396  wcel 2105  Vcvv 3492  Ord word 6183  Oncon0 6184  suc csuc 6186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-tr 5164  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-ord 6187  df-on 6188  df-suc 6190
This theorem is referenced by:  onsucmin  7525  tfindsg2  7565  oaordi  8161  oalimcl  8175  omlimcl  8193  omeulem1  8197  oeordsuc  8209  infensuc  8683  cantnflem1b  9137  cantnflem1  9140  r1ordg  9195  alephnbtwn  9485  cfsuc  9667  alephsuc3  9990  alephreg  9992  bdayimaon  33094  nosupbnd1lem1  33105  nosupbnd1  33111  nosupbnd2lem1  33112  nosupbnd2  33113
  Copyright terms: Public domain W3C validator