Theorem sucneqoni 34646

Description: Inequality of an ordinal set with its successor. Does not use the axiom of regularity. (Contributed by ML, 18-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sucneqoni.1	⊢ 𝑋 = suc 𝑌
sucneqoni.2	⊢ 𝑌 ∈ On

Assertion

Ref	Expression
sucneqoni	⊢ 𝑋 ≠ 𝑌

Proof of Theorem sucneqoni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sucneqoni.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = suc 𝑌
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑋 = suc 𝑌)
3		sucneqoni.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 ∈ On
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑌 ∈ On)
5	2, 4	sucneqond 34645	. 2 ⊢ (⊤ → 𝑋 ≠ 𝑌)
6	5	mptru 1540	1 ⊢ 𝑋 ≠ 𝑌

Syntax hints:   = wceq 1533  ⊤wtru 1534   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  Oncon0 6190  suc csuc 6192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pr 5329  ax-un 7460

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-tr 5172  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-ord 6193  df-on 6194  df-suc 6196

This theorem is referenced by:  finxpreclem3  34673