MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sum0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sum0 14393
Description: Any sum over the empty set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sum0 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 0

Proof of Theorem sum0
StepHypRef Expression
1 nnuz 11675 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
2 1z 11359 . . . . 5 1 ∈ ℤ
32a1i 11 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
4 0ss 3949 . . . . 5 ∅ ⊆ ℕ
54a1i 11 . . . 4 (⊤ → ∅ ⊆ ℕ)
6 simpr 477 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
76, 1syl6eleq 2708 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
8 c0ex 9986 . . . . . . 7 0 ∈ V
98fvconst2 6429 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → (((ℤ‘1) × {0})‘𝑘) = 0)
107, 9syl 17 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℤ‘1) × {0})‘𝑘) = 0)
11 noel 3900 . . . . . 6 ¬ 𝑘 ∈ ∅
1211iffalsei 4073 . . . . 5 if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 0) = 0
1310, 12syl6eqr 2673 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℤ‘1) × {0})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ∅, 𝐴, 0))
1411pm2.21i 116 . . . . 5 (𝑘 ∈ ∅ → 𝐴 ∈ ℂ)
1514adantl 482 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ∅) → 𝐴 ∈ ℂ)
161, 3, 5, 13, 15zsum 14390 . . 3 (⊤ → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ‘1) × {0}))))
1716trud 1490 . 2 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})))
18 fclim 14226 . . . 4 ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
19 ffun 6010 . . . 4 ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
2018, 19ax-mp 5 . . 3 Fun ⇝
21 serclim0 14250 . . . 4 (1 ∈ ℤ → seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ 0)
222, 21ax-mp 5 . . 3 seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ 0
23 funbrfv 6196 . . 3 (Fun ⇝ → (seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ 0 → ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ‘1) × {0}))) = 0))
2420, 22, 23mp2 9 . 2 ( ⇝ ‘seq1( + , ((ℤ‘1) × {0}))) = 0
2517, 24eqtri 2643 1 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐴 = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1480  wtru 1481  wcel 1987  wss 3559  c0 3896  ifcif 4063  {csn 4153   class class class wbr 4618   × cxp 5077  dom cdm 5079  Fun wfun 5846  wf 5848  cfv 5852  cc 9886  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891  cn 10972  cz 11329  cuz 11639  seqcseq 12749  cli 14157  Σcsu 14358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-sum 14359
This theorem is referenced by:  sumz  14394  fsumf1o  14395  fsumcllem  14404  fsumadd  14411  fsum2d  14441  fsumrev2  14453  fsummulc2  14455  fsumconst  14461  modfsummod  14464  fsumabs  14471  telfsumo  14472  fsumparts  14476  fsumrelem  14477  fsumrlim  14481  fsumo1  14482  fsumiun  14491  isumsplit  14508  arisum  14528  arisum2  14529  bpoly0  14717  sumeven  15045  sumodd  15046  bitsinv1  15099  bitsinvp1  15106  prmreclem4  15558  prmreclem5  15559  gsumfsum  19745  fsumcn  22596  ovolfiniun  23192  volfiniun  23238  itg10  23378  itgfsum  23516  dvmptfsum  23659  abelthlem6  24111  logfac  24268  log2ublem3  24592  harmonicbnd3  24651  cht1  24808  dchrisumlem1  25095  dchrisumlem3  25097  logdivbnd  25162  pntrsumbnd2  25173  pntrlog2bndlem4  25186  esumpcvgval  29945  signsvf0  30461  signsvf1  30462  brepr0  30482  mettrifi  33220  rrncmslem  33298  mccl  39262  dvmptfprod  39493  dvnprodlem3  39496  sge0rnn0  39918  sge00  39926  sge0sn  39929  pwdif  40826
  Copyright terms: Public domain W3C validator