HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  sumdmdlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumdmdlem2 29148
Description: Lemma for sumdmdi 29149. (Contributed by NM, 23-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdmdi.1 𝐴C
sumdmdi.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
sumdmdlem2 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem sumdmdlem2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumdmdi.1 . . . . . . . 8 𝐴C
2 sumdmdi.2 . . . . . . . 8 𝐵C
31, 2chjcli 28186 . . . . . . 7 (𝐴 𝐵) ∈ C
43cheli 27959 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ ℋ)
5 spansnsh 28290 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ∈ S )
62chshii 27954 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵S
7 shsub2 28054 . . . . . . . . . . . . 13 (((span‘{𝑦}) ∈ S𝐵S ) → (span‘{𝑦}) ⊆ (𝐵 + (span‘{𝑦})))
85, 6, 7sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ⊆ (𝐵 + (span‘{𝑦})))
9 spansnid 28292 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ (span‘{𝑦}))
108, 9sseldd 3588 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ (𝐵 + (span‘{𝑦})))
1110ad2antrl 763 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐵 + (span‘{𝑦})))
12 elin 3779 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝑦 ∈ (𝐵 + (span‘{𝑦})) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 𝐵)))
13 df-ne 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑦 = 0)
14 spansna 29079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (span‘{𝑦}) ∈ HAtoms)
1513, 14sylan2br 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0) → (span‘{𝑦}) ∈ HAtoms)
16 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (span‘{𝑦}) → (𝑥 𝐵) = ((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵))
1716ineq1d 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (span‘{𝑦}) → ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) = (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)))
1816ineq1d 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (span‘{𝑦}) → ((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) = (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴))
1918oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (span‘{𝑦}) → (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
2017, 19sseq12d 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (span‘{𝑦}) → (((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ↔ (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
2120rspcv 3294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((span‘{𝑦}) ∈ HAtoms → (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
2215, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0) → (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
23 spansnj 28376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐵C𝑦 ∈ ℋ) → (𝐵 + (span‘{𝑦})) = (𝐵 (span‘{𝑦})))
24 spansnch 28289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ∈ C )
25 chjcom 28235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐵C ∧ (span‘{𝑦}) ∈ C ) → (𝐵 (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵))
2624, 25sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐵C𝑦 ∈ ℋ) → (𝐵 (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵))
2723, 26eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐵C𝑦 ∈ ℋ) → (𝐵 + (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵))
282, 27mpan 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℋ → (𝐵 + (span‘{𝑦})) = ((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵))
2928ineq1d 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℋ → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) = (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)))
3028ineq1d 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℋ → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) = (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴))
3130oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℋ → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
3229, 31sseq12d 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℋ → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ↔ (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
3332adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0) → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ↔ (((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ ((((span‘{𝑦}) ∨ 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
3422, 33sylibrd 249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0) → (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
3534com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 = 0) → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
3635expdimp 453 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (¬ 𝑦 = 0 → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵)))
37 ssid 3608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵𝐵
38 sneq 4163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = 0 → {𝑦} = {0})
3938fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 0 → (span‘{𝑦}) = (span‘{0}))
40 spansn0 28270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (span‘{0}) = 0
4139, 40syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 0 → (span‘{𝑦}) = 0)
4241oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 0 → (𝐵 + (span‘{𝑦})) = (𝐵 + 0))
436shs0i 28178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐵 + 0) = 𝐵
4442, 43syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 0 → (𝐵 + (span‘{𝑦})) = 𝐵)
4544ineq1d 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 0 → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) = (𝐵 ∩ (𝐴 𝐵)))
46 inss1 3816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ 𝐵
472, 1chub2i 28199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐵 ⊆ (𝐴 𝐵)
4837, 47ssini 3819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐵 ⊆ (𝐵 ∩ (𝐴 𝐵))
4946, 48eqssi 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∩ (𝐴 𝐵)) = 𝐵
5045, 49syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 0 → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) = 𝐵)
5144ineq1d 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 0 → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) = (𝐵𝐴))
5251oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 0 → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((𝐵𝐴) ∨ 𝐵))
532, 1chincli 28189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐵𝐴) ∈ C
5453, 2chjcomi 28197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵𝐴) ∨ 𝐵) = (𝐵 (𝐵𝐴))
552, 1chabs1i 28247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 (𝐵𝐴)) = 𝐵
5654, 55eqtri 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵𝐴) ∨ 𝐵) = 𝐵
5752, 56syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 0 → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = 𝐵)
5850, 57sseq12d 3618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 0 → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ↔ 𝐵𝐵))
5937, 58mpbiri 248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 0 → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
6036, 59pm2.61d2 172 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
6160adantrr 752 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵))
621, 2sumdmdlem 29147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) = (𝐵𝐴))
6362oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = ((𝐵𝐴) ∨ 𝐵))
6463, 56syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) = 𝐵)
651chshii 27954 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐴S
666, 65shsub2i 28102 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 ⊆ (𝐴 + 𝐵)
6764, 66syl6eqss 3639 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵))
6867adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → (((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵))
6961, 68sstrd 3597 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (𝐴 + 𝐵))
7069sseld 3586 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → (𝑦 ∈ ((𝐵 + (span‘{𝑦})) ∩ (𝐴 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
7112, 70syl5bir 233 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → ((𝑦 ∈ (𝐵 + (span‘{𝑦})) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
7211, 71mpand 710 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ ¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))) → (𝑦 ∈ (𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
7372exp32 630 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℋ → (¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)))))
7473com34 91 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (𝐴 𝐵) → (¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)))))
75 pm2.18 122 . . . . . . 7 ((¬ 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))
7674, 75syl8 76 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (𝑦 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))))
774, 76syl5 34 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵))))
7877pm2.43d 53 . . . 4 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
7978ssrdv 3593 . . 3 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵))
801, 2chsleji 28187 . . 3 (𝐴 + 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐵)
8179, 80jctil 559 . 2 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → ((𝐴 + 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵)))
82 eqss 3602 . 2 ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐴 𝐵) ⊆ (𝐴 + 𝐵)))
8381, 82sylibr 224 1 (∀𝑥 ∈ HAtoms ((𝑥 𝐵) ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ (((𝑥 𝐵) ∩ 𝐴) ∨ 𝐵) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  cin 3558  wss 3559  {csn 4153  cfv 5852  (class class class)co 6610  chil 27646  0c0v 27651   S csh 27655   C cch 27656   + cph 27658  spancspn 27659   chj 27660  0c0h 27662  HAtomscat 27692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cc 9209  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967  ax-mulf 9968  ax-hilex 27726  ax-hfvadd 27727  ax-hvcom 27728  ax-hvass 27729  ax-hv0cl 27730  ax-hvaddid 27731  ax-hfvmul 27732  ax-hvmulid 27733  ax-hvmulass 27734  ax-hvdistr1 27735  ax-hvdistr2 27736  ax-hvmul0 27737  ax-hfi 27806  ax-his1 27809  ax-his2 27810  ax-his3 27811  ax-his4 27812  ax-hcompl 27929
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-omul 7517  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-acn 8720  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-ioo 12129  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-rlim 14162  df-sum 14359  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-hom 15898  df-cco 15899  df-rest 16015  df-topn 16016  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-topgen 16036  df-pt 16037  df-prds 16040  df-xrs 16094  df-qtop 16099  df-imas 16100  df-xps 16102  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-mulg 17473  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-fbas 19675  df-fg 19676  df-cnfld 19679  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-cld 20746  df-ntr 20747  df-cls 20748  df-nei 20825  df-cn 20954  df-cnp 20955  df-lm 20956  df-haus 21042  df-tx 21288  df-hmeo 21481  df-fil 21573  df-fm 21665  df-flim 21666  df-flf 21667  df-xms 22048  df-ms 22049  df-tms 22050  df-cfil 22976  df-cau 22977  df-cmet 22978  df-grpo 27217  df-gid 27218  df-ginv 27219  df-gdiv 27220  df-ablo 27269  df-vc 27284  df-nv 27317  df-va 27320  df-ba 27321  df-sm 27322  df-0v 27323  df-vs 27324  df-nmcv 27325  df-ims 27326  df-dip 27426  df-ssp 27447  df-ph 27538  df-cbn 27589  df-hnorm 27695  df-hba 27696  df-hvsub 27698  df-hlim 27699  df-hcau 27700  df-sh 27934  df-ch 27948  df-oc 27979  df-ch0 27980  df-shs 28037  df-span 28038  df-chj 28039  df-pjh 28124  df-cv 29008  df-at 29067
This theorem is referenced by:  sumdmdi  29149  dmdbr4ati  29150  dmdbr5ati  29151
  Copyright terms: Public domain W3C validator