MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumeq1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumeq1i 15043
Description: Equality inference for sum. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
sumeq1i.1 𝐴 = 𝐵
Assertion
Ref Expression
sumeq1i Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq1i
StepHypRef Expression
1 sumeq1i.1 . 2 𝐴 = 𝐵
2 sumeq1 15033 . 2 (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶)
31, 2ax-mp 5 1 Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  Σcsu 15030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-xp 5554  df-cnv 5556  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-iota 6307  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-seq 13358  df-sum 15031
This theorem is referenced by:  sumeq12i  15045  fsump1i  15112  fsum2d  15114  fsumxp  15115  isumnn0nn  15185  arisum  15203  arisum2  15204  geo2sum  15217  bpoly0  15392  bpoly1  15393  bpoly2  15399  bpoly3  15400  bpoly4  15401  efsep  15451  ef4p  15454  rpnnen2lem12  15566  ovolicc2lem4  24048  itg10  24216  dveflem  24503  dvply1  24800  vieta1lem2  24827  aaliou3lem4  24862  dvtaylp  24885  pserdvlem2  24943  advlogexp  25165  log2ublem2  25452  log2ublem3  25453  log2ub  25454  ftalem5  25581  cht1  25669  1sgmprm  25702  lgsquadlem2  25884  axlowdimlem16  26670  finsumvtxdg2ssteplem4  27257  rusgrnumwwlks  27680  signsvf0  31749  signsvf1  31750  repr0  31781  k0004val0  40382  binomcxplemnotnn0  40565  fsumiunss  41732  dvnmul  42104  stoweidlem17  42179  dirkertrigeqlem1  42260  etransclem24  42420  etransclem35  42431
  Copyright terms: Public domain W3C validator