Theorem sumeq1i 14357

Description: Equality inference for sum. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1i.1	⊢ 𝐴 = 𝐵

Assertion

Ref	Expression
sumeq1i	⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1i.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
2		sumeq1 14348	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Syntax hints:   = wceq 1480  Σcsu 14345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-xp 5085  df-cnv 5087  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-iota 5813  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-seq 12739  df-sum 14346

This theorem is referenced by:  sumeq12i  14359  fsump1i  14423  fsum2d  14425  fsumxp  14426  isumnn0nn  14494  arisum  14512  arisum2  14513  geo2sum  14524  bpoly0  14701  bpoly1  14702  bpoly2  14708  bpoly3  14709  bpoly4  14710  efsep  14760  ef4p  14763  rpnnen2lem12  14874  ovolicc2lem4  23190  itg10  23356  dveflem  23641  dvply1  23938  vieta1lem2  23965  aaliou3lem4  24000  dvtaylp  24023  pserdvlem2  24081  advlogexp  24296  log2ublem2  24569  log2ublem3  24570  log2ub  24571  ftalem5  24698  cht1  24786  1sgmprm  24819  lgsquadlem2  25001  axlowdimlem16  25732  rusgrnumwwlks  26730  signsvf0  30429  signsvf1  30430  k0004val0  37920  binomcxplemnotnn0  38023  fsumiunss  39198  dvnmul  39451  stoweidlem17  39528  dirkertrigeqlem1  39609  etransclem24  39769  etransclem35  39780