Theorem sumeq1i 14516

Description: Equality inference for sum. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1i.1	⊢ 𝐴 = 𝐵

Assertion

Ref	Expression
sumeq1i	⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1i.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
2		sumeq1 14507	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Syntax hints:   = wceq 1564  Σcsu 14504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1567  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ral 2987  df-rex 2988  df-rab 2991  df-v 3274  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-nul 3992  df-if 4163  df-sn 4254  df-pr 4256  df-op 4260  df-uni 4513  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-xp 5192  df-cnv 5194  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-pred 5761  df-iota 5932  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-ov 6736  df-oprab 6737  df-mpt2 6738  df-wrecs 7495  df-recs 7556  df-rdg 7594  df-seq 12885  df-sum 14505

This theorem is referenced by:  sumeq12i  14518  fsump1i  14588  fsum2d  14590  fsumxp  14591  isumnn0nn  14662  arisum  14680  arisum2  14681  geo2sum  14692  bpoly0  14869  bpoly1  14870  bpoly2  14876  bpoly3  14877  bpoly4  14878  efsep  14928  ef4p  14931  rpnnen2lem12  15042  ovolicc2lem4  23377  itg10  23543  dveflem  23830  dvply1  24127  vieta1lem2  24154  aaliou3lem4  24189  dvtaylp  24212  pserdvlem2  24270  advlogexp  24489  log2ublem2  24762  log2ublem3  24763  log2ub  24764  ftalem5  24891  cht1  24979  1sgmprm  25012  lgsquadlem2  25194  axlowdimlem16  25925  finsumvtxdg2ssteplem4  26543  rusgrnumwwlks  26985  signsvf0  30855  signsvf1  30856  repr0  30887  k0004val0  38839  binomcxplemnotnn0  38942  fsumiunss  40195  dvnmul  40546  stoweidlem17  40622  dirkertrigeqlem1  40703  etransclem24  40863  etransclem35  40874