Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sumeq2ad Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumeq2ad 38531
Description: Equality deduction for sum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
sumeq2ad.1 (𝜑𝐵 = 𝐶)
Assertion
Ref Expression
sumeq2ad (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq2ad
StepHypRef Expression
1 sumeq2ad.1 . . 3 (𝜑𝐵 = 𝐶)
21ralrimivw 2854 . 2 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 = 𝐶)
32sumeq2d 14149 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  Σcsu 14133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-er 7505  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-nn 10776  df-n0 11048  df-z 11119  df-uz 11428  df-fz 12066  df-seq 12532  df-sum 14134
This theorem is referenced by:  mccl  38564  dvnmul  38736  dvnprodlem1  38739  dvnprodlem3  38741  dvnprod  38742  etransclem11  39044  etransclem24  39057  etransclem26  39059  etransclem27  39060  etransclem28  39061  etransclem31  39064  etransclem35  39068  etransclem47  39080  rrndistlt  39093  ioorrnopn  39108  sge0val  39166  hoiqssbllem2  39420
  Copyright terms: Public domain W3C validator