Theorem sumeq2sdv 15063

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Proof shortened by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq2sdv.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sumeq2sdv	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq2sdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq2sdv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
2	1	ralrimivw 3185	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶)
3	2	sumeq2d 15061	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537  Σcsu 15044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-seq 13373  df-sum 15045

This theorem is referenced by:  sumsplit  15125  fsumrlim  15168  hash2iun1dif1  15181  incexclem  15193  pwm1geoserOLD  15227  bpolylem  15404  bpolyval  15405  efval  15435  rpnnen2lem12  15580  pcfac  16237  ramcl  16367  cshwshashnsame  16439  fsumcn  23480  fsum2cn  23481  lebnumlem3  23569  rrxdsfival  24018  uniioombllem6  24191  itg1climres  24317  itgeq1f  24374  itgeq2  24380  dvmptfsum  24574  elplyr  24793  plyeq0lem  24802  plyadd  24809  plymul  24810  coeeu  24817  coelem  24818  coeeq  24819  coeidlem  24829  coeid  24830  coeid2  24831  plyco  24833  plycjlem  24868  aareccl  24917  taylply2  24958  pserdvlem2  25018  pserdv  25019  abelthlem6  25026  abelthlem9  25030  logtayl  25245  leibpi  25522  basellem3  25662  dchrvmasum2if  26075  dchrvmaeq0  26082  rpvmasum2  26090  dchrisum0re  26091  brcgr  26688  axsegcon  26715  dipfval  28481  ipval  28482  fsumiunle  30547  itgeq12dv  31586  eulerpartleme  31623  eulerpartlemr  31634  eulerpartlemn  31641  reprsum  31886  reprsuc  31888  reprpmtf1o  31899  vtsval  31910  iprodgam  32976  fwddifnval  33626  knoppndvlem6  33858  knoppf  33876  rrnmval  35108  fsumshftd  36090  fsumcnf  41285  mccl  41886  dvnmul  42235  dvmptfprod  42237  dvnprodlem1  42238  dvnprodlem3  42240  dvnprod  42241  stoweidlem17  42309  stoweidlem26  42318  stoweidlem30  42322  stoweidlem32  42324  dirkertrigeq  42393  dirkeritg  42394  fourierdlem83  42481  fourierdlem103  42501  etransclem11  42537  etransclem24  42550  etransclem26  42552  etransclem27  42553  etransclem28  42554  etransclem31  42557  etransclem35  42561  etransclem46  42572  etransclem47  42573  rrndistlt  42582  ioorrnopn  42597  sge0val  42655  hoiqssbllem2  42912  nnsum3primes4  43960  nnsum4primesodd  43968  nnsum4primesoddALTV  43969  nnsum4primesevenALTV  43973  nn0sumshdiglemB  44687  nn0sumshdiglem1  44688  aacllem  44909