MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumeq2sdv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumeq2sdv 14479
Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
sumeq2sdv.1 (𝜑𝐵 = 𝐶)
Assertion
Ref Expression
sumeq2sdv (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq2sdv
StepHypRef Expression
1 sumeq2sdv.1 . . 3 (𝜑𝐵 = 𝐶)
21adantr 480 . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
32sumeq2dv 14477 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  Σcsu 14460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-seq 12842  df-sum 14461
This theorem is referenced by:  sumsplit  14543  fsumrlim  14587  incexclem  14612  bpolylem  14823  bpolyval  14824  efval  14854  rpnnen2lem12  14998  pcfac  15650  ramcl  15780  cshwshashnsame  15857  fsumcn  22720  fsum2cn  22721  lebnumlem3  22809  uniioombllem6  23402  itg1climres  23526  itgeq1f  23583  itgeq2  23589  dvmptfsum  23783  elplyr  24002  plyeq0lem  24011  plyadd  24018  plymul  24019  coeeu  24026  coelem  24027  coeeq  24028  coeidlem  24038  coeid  24039  coeid2  24040  plyco  24042  plycjlem  24077  aareccl  24126  taylply2  24167  pserdvlem2  24227  pserdv  24228  abelthlem6  24235  abelthlem9  24239  logtayl  24451  leibpi  24714  basellem3  24854  dchrvmasum2if  25231  dchrvmaeq0  25238  rpvmasum2  25246  dchrisum0re  25247  brcgr  25825  axsegcon  25852  dipfval  27685  ipval  27686  fsumiunle  29703  itgeq12dv  30516  eulerpartleme  30553  eulerpartlemr  30564  eulerpartlemn  30571  reprsum  30819  reprsuc  30821  reprpmtf1o  30832  vtsval  30843  iprodgam  31754  fwddifnval  32395  knoppndvlem6  32633  knoppf  32651  rrnmval  33757  fsumshftd  34556  fsumcnf  39494  dvmptfprod  40478  stoweidlem17  40552  stoweidlem26  40561  stoweidlem30  40565  stoweidlem32  40567  dirkertrigeq  40636  dirkeritg  40637  fourierdlem83  40724  fourierdlem103  40744  etransclem46  40815  nnsum3primes4  42001  nnsum4primesodd  42009  nnsum4primesoddALTV  42010  nnsum4primesevenALTV  42014  nn0sumshdiglemB  42739  nn0sumshdiglem1  42740  aacllem  42875
  Copyright terms: Public domain W3C validator