MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumeq2sdv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumeq2sdv 14228
Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
sumeq2sdv.1 (𝜑𝐵 = 𝐶)
Assertion
Ref Expression
sumeq2sdv (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq2sdv
StepHypRef Expression
1 sumeq2sdv.1 . . 3 (𝜑𝐵 = 𝐶)
21adantr 479 . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
32sumeq2dv 14227 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  Σcsu 14210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-seq 12619  df-sum 14211
This theorem is referenced by:  sumsplit  14287  fsumrlim  14330  incexclem  14353  bpolylem  14564  bpolyval  14565  efval  14595  rpnnen2lem12  14739  pcfac  15387  ramcl  15517  cshwshashnsame  15594  fsumcn  22412  fsum2cn  22413  lebnumlem3  22501  uniioombllem6  23079  itg1climres  23204  itgeq1f  23261  itgeq2  23267  dvmptfsum  23459  elplyr  23678  plyeq0lem  23687  plyadd  23694  plymul  23695  coeeu  23702  coelem  23703  coeeq  23704  coeidlem  23714  coeid  23715  coeid2  23716  plyco  23718  plycjlem  23753  aareccl  23802  taylply2  23843  pserdvlem2  23903  pserdv  23904  abelthlem6  23911  abelthlem9  23915  logtayl  24123  leibpi  24386  basellem3  24526  dchrvmasum2if  24903  dchrvmaeq0  24910  rpvmasum2  24918  dchrisum0re  24919  brcgr  25498  axsegcon  25525  dipfval  26742  ipval  26743  itgeq12dv  29521  eulerpartleme  29558  eulerpartlemr  29569  eulerpartlemn  29576  iprodgam  30687  fwddifnval  31246  knoppndvlem6  31484  knoppf  31502  rrnmval  32600  fsumshftd  33058  fsumcnf  38006  dvmptfprod  38639  stoweidlem17  38714  stoweidlem26  38723  stoweidlem30  38727  stoweidlem32  38729  dirkertrigeq  38798  dirkeritg  38799  fourierdlem83  38886  fourierdlem103  38906  etransclem46  38977  nnsum3primes4  40009  nnsum4primesodd  40017  nnsum4primesoddALTV  40018  nnsum4primesevenALTV  40022  nn0sumshdiglemB  42214  nn0sumshdiglem1  42215  aacllem  42319
  Copyright terms: Public domain W3C validator