Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumeven Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumeven 15045
 Description: If every term in a sum is even, then so is the sum. (Contributed by AV, 14-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
sumeven.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
sumeven.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
sumeven.e ((𝜑𝑘𝐴) → 2 ∥ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
sumeven (𝜑 → 2 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem sumeven
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumeq1 14361 . . 3 (𝑥 = ∅ → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
21breq2d 4630 . 2 (𝑥 = ∅ → (2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵))
3 sumeq1 14361 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘𝑦 𝐵)
43breq2d 4630 . 2 (𝑥 = 𝑦 → (2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵))
5 sumeq1 14361 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
65breq2d 4630 . 2 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵))
7 sumeq1 14361 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐵)
87breq2d 4630 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵))
9 z0even 15038 . . . 4 2 ∥ 0
10 sum0 14393 . . . 4 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
119, 10breqtrri 4645 . . 3 2 ∥ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵
1211a1i 11 . 2 (𝜑 → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
13 2z 11361 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
1413a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 2 ∈ ℤ)
15 sumeven.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
16 ssfi 8132 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ Fin)
1716expcom 451 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → 𝑦 ∈ Fin))
1817adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → (𝐴 ∈ Fin → 𝑦 ∈ Fin))
1915, 18mpan9 486 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
20 simpll 789 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝜑)
21 ssel 3581 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐴 → (𝑘𝑦𝑘𝐴))
2221adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → (𝑘𝑦𝑘𝐴))
2322adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑘𝑦𝑘𝐴))
2423imp 445 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝐴)
25 sumeven.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
2620, 24, 25syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐵 ∈ ℤ)
2719, 26fsumzcl 14407 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ)
28 eldifi 3715 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) → 𝑧𝐴)
2928adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑧𝐴)
3029adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧𝐴)
3125adantlr 750 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
3231ralrimiva 2961 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
33 rspcsbela 3983 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
3430, 32, 33syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
3514, 27, 343jca 1240 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (2 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ))
3635adantr 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → (2 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ))
37 sumeven.e . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → 2 ∥ 𝐵)
3837ralrimiva 2961 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 2 ∥ 𝐵)
39 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . 12 𝑘2
40 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . 12 𝑘
41 nfcsb1v 3534 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑧 / 𝑘𝐵
4239, 40, 41nfbr 4664 . . . . . . . . . . 11 𝑘2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵
43 csbeq1a 3527 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑧𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
4443breq2d 4630 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑧 → (2 ∥ 𝐵 ↔ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
4542, 44rspc 3292 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐴 → (∀𝑘𝐴 2 ∥ 𝐵 → 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
4628, 38, 45syl2imc 41 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) → 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
4746a1d 25 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) → 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵)))
4847imp32 449 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵)
4948anim1i 591 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → (2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵))
5049ancomd 467 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → (2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵 ∧ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
51 dvds2add 14950 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ) → ((2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵 ∧ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵) → 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)))
5236, 50, 51sylc 65 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
5316ex 450 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Fin → (𝑦𝐴𝑦 ∈ Fin))
5453, 15syl11 33 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴 → (𝜑𝑦 ∈ Fin))
5554adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → (𝜑𝑦 ∈ Fin))
5655impcom 446 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
57 eldif 3569 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) ↔ (𝑧𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑦))
58 df-nel 2894 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑦 ↔ ¬ 𝑧𝑦)
5958biimpri 218 . . . . . . . . 9 𝑧𝑦𝑧𝑦)
6057, 59simplbiim 658 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) → 𝑧𝑦)
6160adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑧𝑦)
6261adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧𝑦)
63 simpll 789 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝜑)
64 elun 3736 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↔ (𝑘𝑦𝑘 ∈ {𝑧}))
6522com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝑦 → ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑘𝐴))
66 elsni 4170 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ {𝑧} → 𝑘 = 𝑧)
67 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑧 → (𝑘𝐴𝑧𝐴))
6829, 67syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑧 → ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑘𝐴))
6966, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ {𝑧} → ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑘𝐴))
7065, 69jaoi 394 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝑦𝑘 ∈ {𝑧}) → ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑘𝐴))
7170com12 32 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → ((𝑘𝑦𝑘 ∈ {𝑧}) → 𝑘𝐴))
7264, 71syl5bi 232 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑘𝐴))
7372adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑘𝐴))
7473imp 445 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑘𝐴)
7563, 74, 25syl2anc 692 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝐵 ∈ ℤ)
7675ralrimiva 2961 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
77 fsumsplitsnun 14425 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑦 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
7856, 62, 76, 77syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
7978adantr 481 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
8052, 79breqtrrd 4646 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
8180ex 450 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵 → 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵))
822, 4, 6, 8, 12, 81, 15findcard2d 8154 1 (𝜑 → 2 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ∉ wnel 2893  ∀wral 2907  ⦋csb 3518   ∖ cdif 3556   ∪ cun 3557   ⊆ wss 3559  ∅c0 3896  {csn 4153   class class class wbr 4618  (class class class)co 6610  Fincfn 7907  0cc0 9888   + caddc 9891  2c2 11022  ℤcz 11329  Σcsu 14358   ∥ cdvds 14918 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-sum 14359  df-dvds 14919 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator