MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  summodnegmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem summodnegmod 15628
Description: The sum of two integers modulo a positive integer equals zero iff the first of the two integers equals the negative of the other integer modulo the positive integer. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
summodnegmod ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 + 𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (-𝐵 mod 𝑁)))

Proof of Theorem summodnegmod
StepHypRef Expression
1 simp3 1130 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 simp1 1128 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
3 znegcl 12005 . . . 4 (𝐵 ∈ ℤ → -𝐵 ∈ ℤ)
433ad2ant2 1126 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -𝐵 ∈ ℤ)
5 moddvds 15606 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ -𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (-𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − -𝐵)))
61, 2, 4, 5syl3anc 1363 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑁) = (-𝐵 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − -𝐵)))
7 zcn 11974 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
8 zcn 11974 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
97, 8anim12i 612 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
1093adant3 1124 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
11 subneg 10923 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
1211eqcomd 2824 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 − -𝐵))
1310, 12syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 − -𝐵))
1413breq2d 5069 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − -𝐵)))
15 zaddcl 12010 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
16153adant3 1124 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
17 dvdsval3 15599 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑁) = 0))
181, 16, 17syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐵) mod 𝑁) = 0))
196, 14, 183bitr2rd 309 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 + 𝐵) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = (-𝐵 mod 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525   + caddc 10528  cmin 10858  -cneg 10859  cn 11626  cz 11969   mod cmo 13225  cdvds 15595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13150  df-mod 13226  df-dvds 15596
This theorem is referenced by:  fmtnoprmfac1lem  43603
  Copyright terms: Public domain W3C validator