Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sumpair Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumpair 39020
Description: Sum of two distinct complex values. The class expression for 𝐴 and 𝐵 normally contain free variable 𝑘 to index it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sumpair.1 (𝜑𝑘𝐷)
sumpair.3 (𝜑𝑘𝐸)
sumupair.1 (𝜑𝐴𝑉)
sumupair.2 (𝜑𝐵𝑊)
sumupair.3 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
sumupair.4 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
sumupair.5 (𝜑𝐴𝐵)
sumupair.8 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
sumupair.9 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
sumpair (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 + 𝐸))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem sumpair
StepHypRef Expression
1 sumupair.5 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
2 disjsn2 4245 . . . 4 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
4 df-pr 4178 . . . 4 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵}))
6 prfi 8232 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
8 elpri 4195 . . . 4 (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐵))
9 sumupair.8 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
10 sumupair.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
1110adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
129, 11eqeltrd 2700 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
13 sumupair.9 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐸)
14 sumupair.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
1514adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐸 ∈ ℂ)
1613, 15eqeltrd 2700 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
1712, 16jaodan 826 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴𝑘 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
188, 17sylan2 491 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}) → 𝐶 ∈ ℂ)
193, 5, 7, 18fsumsplit 14465 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶))
20 sumpair.1 . . . 4 (𝜑𝑘𝐷)
21 nfv 1842 . . . 4 𝑘𝜑
22 sumupair.1 . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
2320, 21, 9, 22, 10sumsnd 39011 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 = 𝐷)
24 sumpair.3 . . . 4 (𝜑𝑘𝐸)
25 sumupair.2 . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
2624, 21, 13, 25, 14sumsnd 39011 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐸)
2723, 26oveq12d 6665 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶) = (𝐷 + 𝐸))
2819, 27eqtrd 2655 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 + 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  wnfc 2750  wne 2793  cun 3570  cin 3571  c0 3913  {csn 4175  {cpr 4177  (class class class)co 6647  Fincfn 7952  cc 9931   + caddc 9936  Σcsu 14410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-fal 1488  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-sup 8345  df-oi 8412  df-card 8762  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-rp 11830  df-fz 12324  df-fzo 12462  df-seq 12797  df-exp 12856  df-hash 13113  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970  df-clim 14213  df-sum 14411
This theorem is referenced by:  refsum2cnlem1  39022
  Copyright terms: Public domain W3C validator