MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumsn 14261
Description: A sum of a singleton is the term. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fsum1.1 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
sumsn ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem sumsn
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2746 . . . 4 𝑚𝐴
2 nfcsb1v 3510 . . . 4 𝑘𝑚 / 𝑘𝐴
3 csbeq1a 3503 . . . 4 (𝑘 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑘𝐴)
41, 2, 3cbvsumi 14217 . . 3 Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = Σ𝑚 ∈ {𝑀}𝑚 / 𝑘𝐴
5 csbeq1 3497 . . . 4 (𝑚 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) → 𝑚 / 𝑘𝐴 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴)
6 1nn 10874 . . . . 5 1 ∈ ℕ
76a1i 11 . . . 4 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℕ)
8 simpl 471 . . . . . 6 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → 𝑀𝑉)
9 f1osng 6070 . . . . . 6 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
106, 8, 9sylancr 693 . . . . 5 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
11 1z 11236 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
12 fzsn 12205 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
13 f1oeq2 6022 . . . . . 6 ((1...1) = {1} → ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀}))
1411, 12, 13mp2b 10 . . . . 5 ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
1510, 14sylibr 222 . . . 4 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → {⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀})
16 elsni 4137 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ {𝑀} → 𝑚 = 𝑀)
1716adantl 480 . . . . . 6 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 = 𝑀)
1817csbeq1d 3501 . . . . 5 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 / 𝑘𝐴 = 𝑀 / 𝑘𝐴)
19 nfcvd 2747 . . . . . . . 8 (𝑀𝑉𝑘𝐵)
20 fsum1.1 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐵)
2119, 20csbiegf 3518 . . . . . . 7 (𝑀𝑉𝑀 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
2221ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑀 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
23 simplr 787 . . . . . 6 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝐵 ∈ ℂ)
2422, 23eqeltrd 2683 . . . . 5 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑀 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
2518, 24eqeltrd 2683 . . . 4 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
2621ad2antrr 757 . . . . 5 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → 𝑀 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
27 elfz1eq 12174 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (1...1) → 𝑛 = 1)
2827fveq2d 6088 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1...1) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
29 fvsng 6326 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑉) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
306, 8, 29sylancr 693 . . . . . . 7 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
3128, 30sylan9eqr 2661 . . . . . 6 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) = 𝑀)
3231csbeq1d 3501 . . . . 5 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴 = 𝑀 / 𝑘𝐴)
3327fveq2d 6088 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (1...1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1))
34 simpr 475 . . . . . . 7 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
35 fvsng 6326 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
366, 34, 35sylancr 693 . . . . . 6 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
3733, 36sylan9eqr 2661 . . . . 5 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = 𝐵)
3826, 32, 373eqtr4rd 2650 . . . 4 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴)
395, 7, 15, 25, 38fsum 14240 . . 3 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ {𝑀}𝑚 / 𝑘𝐴 = (seq1( + , {⟨1, 𝐵⟩})‘1))
404, 39syl5eq 2651 . 2 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = (seq1( + , {⟨1, 𝐵⟩})‘1))
4111, 36seq1i 12628 . 2 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → (seq1( + , {⟨1, 𝐵⟩})‘1) = 𝐵)
4240, 41eqtrd 2639 1 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  csb 3494  {csn 4120  cop 4126  1-1-ontowf1o 5785  cfv 5786  (class class class)co 6523  cc 9786  1c1 9789   + caddc 9791  cn 10863  cz 11206  ...cfz 12148  seqcseq 12614  Σcsu 14206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-sup 8204  df-oi 8271  df-card 8621  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-rp 11661  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-seq 12615  df-exp 12674  df-hash 12931  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-clim 14009  df-sum 14207
This theorem is referenced by:  fsum1  14262  sumpr  14263  sumtp  14264  sumsns  14265  fsumm1  14266  fsum1p  14268  fsum2dlem  14285  fsumge1  14312  fsumrlim  14326  fsumo1  14327  fsumiun  14336  incexclem  14349  incexc  14350  binomfallfac  14553  fprodefsum  14606  rpnnen2lem11  14734  bitsinv1  14944  2ebits  14949  bitsinvp1  14951  ovolfiniun  22989  volfiniun  23035  itg11  23177  itgfsum  23312  plyeq0lem  23683  coemulhi  23727  vieta1lem2  23783  vieta1  23784  chtprm  24592  musumsum  24631  muinv  24632  logexprlim  24663  perfectlem2  24668  dchrhash  24709  rpvmasum2  24914  eulerpartlems  29551  eulerpartlemgc  29553  plymulx0  29752  signsplypnf  29755  ismrer1  32606  jm2.23  36380  k0004val0  37271  dvnprodlem3  38638  stoweidlem17  38710  stoweidlem44  38737  sge0cl  39074  carageniuncllem1  39211  perfectALTVlem2  39966  nnsum3primesprm  40007  nn0sumshdiglemB  42210  nn0sumshdiglem1  42211  nn0sumshdiglem2  42212
  Copyright terms: Public domain W3C validator