Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sumsnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumsnf 39202
Description: A sum of a singleton is the term. A version of sumsn 14405 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sumsnf.1 𝑘𝐵
sumsnf.2 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
sumsnf ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem sumsnf
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2761 . . . 4 𝑚𝐴
2 nfcsb1v 3530 . . . 4 𝑘𝑚 / 𝑘𝐴
3 csbeq1a 3523 . . . 4 (𝑘 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑘𝐴)
41, 2, 3cbvsumi 14361 . . 3 Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = Σ𝑚 ∈ {𝑀}𝑚 / 𝑘𝐴
5 csbeq1 3517 . . . 4 (𝑚 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) → 𝑚 / 𝑘𝐴 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴)
6 1nn 10975 . . . . 5 1 ∈ ℕ
76a1i 11 . . . 4 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℕ)
8 simpl 473 . . . . . 6 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → 𝑀𝑉)
9 f1osng 6134 . . . . . 6 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
106, 8, 9sylancr 694 . . . . 5 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
11 1z 11351 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
12 fzsn 12325 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
13 f1oeq2 6085 . . . . . 6 ((1...1) = {1} → ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀}))
1411, 12, 13mp2b 10 . . . . 5 ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
1510, 14sylibr 224 . . . 4 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → {⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀})
16 elsni 4165 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ {𝑀} → 𝑚 = 𝑀)
1716adantl 482 . . . . . 6 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 = 𝑀)
1817csbeq1d 3521 . . . . 5 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 / 𝑘𝐴 = 𝑀 / 𝑘𝐴)
19 sumsnf.1 . . . . . . . . 9 𝑘𝐵
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀𝑉𝑘𝐵)
21 sumsnf.2 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐵)
2220, 21csbiegf 3538 . . . . . . 7 (𝑀𝑉𝑀 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
2322ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑀 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
24 simplr 791 . . . . . 6 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝐵 ∈ ℂ)
2523, 24eqeltrd 2698 . . . . 5 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑀 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
2618, 25eqeltrd 2698 . . . 4 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
2722ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → 𝑀 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
28 elfz1eq 12294 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (1...1) → 𝑛 = 1)
2928fveq2d 6152 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1...1) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
30 fvsng 6401 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝑉) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
316, 8, 30sylancr 694 . . . . . . 7 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
3229, 31sylan9eqr 2677 . . . . . 6 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) = 𝑀)
3332csbeq1d 3521 . . . . 5 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴 = 𝑀 / 𝑘𝐴)
3428fveq2d 6152 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (1...1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1))
35 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
36 fvsng 6401 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
376, 35, 36sylancr 694 . . . . . 6 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
3834, 37sylan9eqr 2677 . . . . 5 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = 𝐵)
3927, 33, 383eqtr4rd 2666 . . . 4 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴)
405, 7, 15, 26, 39fsum 14384 . . 3 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ {𝑀}𝑚 / 𝑘𝐴 = (seq1( + , {⟨1, 𝐵⟩})‘1))
414, 40syl5eq 2667 . 2 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = (seq1( + , {⟨1, 𝐵⟩})‘1))
4211, 37seq1i 12755 . 2 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → (seq1( + , {⟨1, 𝐵⟩})‘1) = 𝐵)
4341, 42eqtrd 2655 1 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wnfc 2748  csb 3514  {csn 4148  cop 4154  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  1c1 9881   + caddc 9883  cn 10964  cz 11321  ...cfz 12268  seqcseq 12741  Σcsu 14350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351
This theorem is referenced by:  fsumsplitsn  39203
  Copyright terms: Public domain W3C validator