Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumsplit 14422
 Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sumsplit.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
sumsplit.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
sumsplit.3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
sumsplit.4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑍)
sumsplit.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
sumsplit.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
sumsplit.7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
sumsplit.8 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
sumsplit.9 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
sumsplit (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumsplit
StepHypRef Expression
1 sumsplit.4 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑍)
2 sumsplit.7 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
32ralrimiva 2965 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 ∈ ℂ)
4 sumsplit.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
54eqimssi 3643 . . . . 5 𝑍 ⊆ (ℤ𝑀)
65a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑍 ⊆ (ℤ𝑀))
76orcd 407 . . 3 (𝜑 → (𝑍 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝑍 ∈ Fin))
8 sumss2 14385 . . 3 ((((𝐴𝐵) ⊆ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑍 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝑍 ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = Σ𝑘𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0))
91, 3, 7, 8syl21anc 1322 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = Σ𝑘𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0))
10 sumsplit.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
11 sumsplit.5 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
12 iftrue 4069 . . . . . . . 8 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
1312adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
14 elun1 3763 . . . . . . . 8 (𝑘𝐴𝑘 ∈ (𝐴𝐵))
1514, 2sylan2 491 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
1613, 15eqeltrd 2704 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
17 iffalse 4072 . . . . . . . 8 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 0)
18 0cn 9977 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
1917, 18syl6eqel 2712 . . . . . . 7 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
2019adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
2116, 20pm2.61dan 831 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
2221adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
23 sumsplit.6 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
24 iftrue 4069 . . . . . . . 8 (𝑘𝐵 → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
2524adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
26 elun2 3764 . . . . . . . 8 (𝑘𝐵𝑘 ∈ (𝐴𝐵))
2726, 2sylan2 491 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
2825, 27eqeltrd 2704 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
29 iffalse 4072 . . . . . . . 8 𝑘𝐵 → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) = 0)
3029, 18syl6eqel 2712 . . . . . . 7 𝑘𝐵 → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
3130adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐵) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
3228, 31pm2.61dan 831 . . . . 5 (𝜑 → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
3332adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
34 sumsplit.8 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
35 sumsplit.9 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
364, 10, 11, 22, 23, 33, 34, 35isumadd 14421 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
3715addid1d 10181 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶 + 0) = 𝐶)
38 noel 3900 . . . . . . . . . . 11 ¬ 𝑘 ∈ ∅
39 elin 3779 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
40 sumsplit.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
4140eleq2d 2689 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
4239, 41syl5rbbr 275 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘 ∈ ∅ ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
4338, 42mtbii 316 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
44 imnan 438 . . . . . . . . . 10 ((𝑘𝐴 → ¬ 𝑘𝐵) ↔ ¬ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
4543, 44sylibr 224 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝐴 → ¬ 𝑘𝐵))
4645imp 445 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 𝑘𝐵)
4746, 29syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) = 0)
4813, 47oveq12d 6623 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (𝐶 + 0))
49 iftrue 4069 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = 𝐶)
5014, 49syl 17 . . . . . . 7 (𝑘𝐴 → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = 𝐶)
5150adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = 𝐶)
5237, 48, 513eqtr4rd 2671 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
5332addid2d 10182 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
5453adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐴) → (0 + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
5517adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 0)
5655oveq1d 6620 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (0 + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
57 biorf 420 . . . . . . . . 9 𝑘𝐴 → (𝑘𝐵 ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
58 elun 3736 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
5957, 58syl6rbbr 279 . . . . . . . 8 𝑘𝐴 → (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑘𝐵))
6059adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐴) → (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑘𝐵))
6160ifbid 4085 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
6254, 56, 613eqtr4rd 2671 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
6352, 62pm2.61dan 831 . . . 4 (𝜑 → if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
6463sumeq2sdv 14363 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0) = Σ𝑘𝑍 (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
651unssad 3773 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑍)
6615ralrimiva 2965 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
67 sumss2 14385 . . . . 5 (((𝐴𝑍 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑍 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝑍 ∈ Fin)) → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
6865, 66, 7, 67syl21anc 1322 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
691unssbd 3774 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑍)
7027ralrimiva 2965 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
71 sumss2 14385 . . . . 5 (((𝐵𝑍 ∧ ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑍 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝑍 ∈ Fin)) → Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
7269, 70, 7, 71syl21anc 1322 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
7368, 72oveq12d 6623 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶) = (Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘𝑍 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
7436, 64, 733eqtr4rd 2671 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶) = Σ𝑘𝑍 if(𝑘 ∈ (𝐴𝐵), 𝐶, 0))
759, 74eqtr4d 2663 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐵)𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  ∀wral 2912   ∪ cun 3558   ∩ cin 3559   ⊆ wss 3560  ∅c0 3896  ifcif 4063  dom cdm 5079  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  Fincfn 7900  ℂcc 9879  0cc0 9881   + caddc 9884  ℤcz 11322  ℤ≥cuz 11631  seqcseq 12738   ⇝ cli 14144  Σcsu 14345 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-sum 14346 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator