MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumss 15069
Description: Change the index set to a subset in an upper integer sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sumss.1 (𝜑𝐴𝐵)
sumss.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
sumss.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
sumss.4 (𝜑𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
sumss (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumss
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . . . 5 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 sumss.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
4 sumss.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
53, 4sstrd 3974 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
65adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
7 nfcv 2974 . . . . . . 7 𝑘𝑚
8 nffvmpt1 6674 . . . . . . . 8 𝑘((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚)
9 nfv 1906 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑚𝐴
10 nffvmpt1 6674 . . . . . . . . 9 𝑘((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚)
11 nfcv 2974 . . . . . . . . 9 𝑘0
129, 10, 11nfif 4492 . . . . . . . 8 𝑘if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 0)
138, 12nfeq 2988 . . . . . . 7 𝑘((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 0)
14 fveq2 6663 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚))
15 eleq1w 2892 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐴𝑚𝐴))
16 fveq2 6663 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘) = ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚))
1715, 16ifbieq1d 4486 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘), 0) = if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 0))
1814, 17eqeq12d 2834 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘), 0) ↔ ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 0)))
19 eqid 2818 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
2019fvmpt2i 6770 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = ( I ‘if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)))
21 iftrue 4469 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
2221fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝐴 → ( I ‘if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)) = ( I ‘𝐶))
2320, 22sylan9eq 2873 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = ( I ‘𝐶))
24 iftrue 4469 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘), 0) = ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘))
25 eqid 2818 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝐴𝐶) = (𝑘𝐴𝐶)
2625fvmpt2i 6770 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐴 → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘) = ( I ‘𝐶))
2724, 26eqtrd 2853 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘), 0) = ( I ‘𝐶))
2827adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘), 0) = ( I ‘𝐶))
2923, 28eqtr4d 2856 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘), 0))
30 iffalse 4472 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 0)
3130fveq2d 6667 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝐴 → ( I ‘if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)) = ( I ‘0))
32 0z 11980 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℤ
33 fvi 6733 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℤ → ( I ‘0) = 0)
3432, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ( I ‘0) = 0
3531, 34syl6eq 2869 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐴 → ( I ‘if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)) = 0)
3620, 35sylan9eq 2873 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = 0)
37 iffalse 4472 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘), 0) = 0)
3837adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘), 0) = 0)
3936, 38eqtr4d 2856 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘), 0))
4029, 39pm2.61dan 809 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑘), 0))
417, 13, 18, 40vtoclgaf 3570 . . . . . 6 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 0))
4241adantl 482 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐴, ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚), 0))
43 sumss.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
4443fmpttd 6871 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶):𝐴⟶ℂ)
4544adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘𝐴𝐶):𝐴⟶ℂ)
4645ffvelrnda 6843 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
471, 2, 6, 42, 46zsum 15063 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)))))
484adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ⊆ (ℤ𝑀))
49 nfv 1906 . . . . . . . . 9 𝑘𝜑
50 nfv 1906 . . . . . . . . . . 11 𝑘 𝑚𝐵
51 nffvmpt1 6674 . . . . . . . . . . 11 𝑘((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚)
5250, 51, 11nfif 4492 . . . . . . . . . 10 𝑘if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0)
538, 52nfeq 2988 . . . . . . . . 9 𝑘((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0)
5449, 53nfim 1888 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0))
55 eleq1w 2892 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘𝐵𝑚𝐵))
56 fveq2 6663 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘) = ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚))
5755, 56ifbieq1d 4486 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0))
5814, 57eqeq12d 2834 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) ↔ ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0)))
5958imbi2d 342 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑚 → ((𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0)) ↔ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0))))
6023adantll 710 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = ( I ‘𝐶))
613adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴𝐵)
6261sselda 3964 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘𝐵)
63 iftrue 4469 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝐵 → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘))
64 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝐵𝐶) = (𝑘𝐵𝐶)
6564fvmpt2i 6770 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝐵 → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘) = ( I ‘𝐶))
6663, 65eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝐵 → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = ( I ‘𝐶))
6762, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = ( I ‘𝐶))
6860, 67eqtr4d 2856 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0))
6936adantll 710 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = 0)
7066ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐵 ∧ ¬ 𝑘𝐴)) → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = ( I ‘𝐶))
71 eldif 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (𝐵𝐴) ↔ (𝑘𝐵 ∧ ¬ 𝑘𝐴))
72 sumss.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 0)
7372fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → ( I ‘𝐶) = ( I ‘0))
74 0cn 10621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℂ
75 fvi 6733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 ∈ ℂ → ( I ‘0) = 0)
7674, 75ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( I ‘0) = 0
7773, 76syl6eq 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → ( I ‘𝐶) = 0)
7871, 77sylan2br 594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐵 ∧ ¬ 𝑘𝐴)) → ( I ‘𝐶) = 0)
7970, 78eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐵 ∧ ¬ 𝑘𝐴)) → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = 0)
8079expr 457 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐵) → (¬ 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = 0))
81 iffalse 4472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘𝐵 → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = 0)
8281adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐵) → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = 0)
8382a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑘𝐵) → (¬ 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = 0))
8480, 83pm2.61dan 809 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (¬ 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = 0))
8584adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (¬ 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = 0))
8685imp 407 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0) = 0)
8769, 86eqtr4d 2856 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0))
8868, 87pm2.61dan 809 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0))
8988expcom 414 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑘) = if(𝑘𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑘), 0)))
907, 54, 59, 89vtoclgaf 3570 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜑 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0)))
9190impcom 408 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0))
9291adantlr 711 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))‘𝑚) = if(𝑚𝐵, ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚), 0))
9343ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐶 ∈ ℂ))
9493adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑘𝐴𝐶 ∈ ℂ))
9572, 74syl6eqel 2918 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
9671, 95sylan2br 594 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐵 ∧ ¬ 𝑘𝐴)) → 𝐶 ∈ ℂ)
9796expr 457 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵) → (¬ 𝑘𝐴𝐶 ∈ ℂ))
9894, 97pm2.61d 180 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
9998fmpttd 6871 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶ℂ)
10099adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘𝐵𝐶):𝐵⟶ℂ)
101100ffvelrnda 6843 . . . . 5 (((𝜑𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑚𝐵) → ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) ∈ ℂ)
1021, 2, 48, 92, 101zsum 15063 . . . 4 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑘𝐴, 𝐶, 0)))))
10347, 102eqtr4d 2856 . . 3 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = Σ𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚))
104 sumfc 15054 . . 3 Σ𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘𝐴 𝐶
105 sumfc 15054 . . 3 Σ𝑚𝐵 ((𝑘𝐵𝐶)‘𝑚) = Σ𝑘𝐵 𝐶
106103, 104, 1053eqtr3g 2876 . 2 ((𝜑𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶)
1073adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴𝐵)
108 uzf 12234 . . . . . . . . . . . 12 :ℤ⟶𝒫 ℤ
109108fdmi 6517 . . . . . . . . . . 11 dom ℤ = ℤ
110109eleq2i 2901 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ dom ℤ𝑀 ∈ ℤ)
111 ndmfv 6693 . . . . . . . . . 10 𝑀 ∈ dom ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
112110, 111sylnbir 332 . . . . . . . . 9 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
113112sseq2d 3996 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ ℤ → (𝐵 ⊆ (ℤ𝑀) ↔ 𝐵 ⊆ ∅))
1144, 113syl5ib 245 . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℤ → (𝜑𝐵 ⊆ ∅))
115114impcom 408 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 ⊆ ∅)
116107, 115sstrd 3974 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ ∅)
117 ss0 4349 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
118116, 117syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 = ∅)
119 ss0 4349 . . . . 5 (𝐵 ⊆ ∅ → 𝐵 = ∅)
120115, 119syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐵 = ∅)
121118, 120eqtr4d 2856 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 = 𝐵)
122121sumeq1d 15046 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶)
123106, 122pm2.61dan 809 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cdif 3930  wss 3933  c0 4288  ifcif 4463  𝒫 cpw 4535  cmpt 5137   I cid 5452  dom cdm 5548  wf 6344  cfv 6348  cc 10523  0cc0 10525   + caddc 10528  cz 11969  cuz 12231  seqcseq 13357  cli 14829  Σcsu 15030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031
This theorem is referenced by:  fsumss  15070  sumss2  15071  binomlem  15172  eulerpartlemsv2  31515  eulerpartlemsv3  31518  eulerpartlemv  31521  eulerpartlemb  31525
  Copyright terms: Public domain W3C validator