MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumtp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumtp 14419
Description: A sum over a triple is the sum of the elements. (Contributed by AV, 24-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sumtp.e (𝑘 = 𝐴𝐷 = 𝐸)
sumtp.f (𝑘 = 𝐵𝐷 = 𝐹)
sumtp.g (𝑘 = 𝐶𝐷 = 𝐺)
sumtp.c (𝜑 → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ))
sumtp.v (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋))
sumtp.1 (𝜑𝐴𝐵)
sumtp.2 (𝜑𝐴𝐶)
sumtp.3 (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
sumtp (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = ((𝐸 + 𝐹) + 𝐺))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐸   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑘,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem sumtp
StepHypRef Expression
1 sumtp.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐶)
21necomd 2845 . . . . 5 (𝜑𝐶𝐴)
3 sumtp.3 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐶)
43necomd 2845 . . . . 5 (𝜑𝐶𝐵)
52, 4nelprd 4179 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
6 disjsn 4221 . . . 4 (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
75, 6sylibr 224 . . 3 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
8 df-tp 4158 . . . 4 {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
98a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
10 tpfi 8188 . . . 4 {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin
1110a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)
12 sumtp.c . . . . 5 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ))
13 sumtp.v . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋))
14 sumtp.e . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐴𝐷 = 𝐸)
1514eleq1d 2683 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐴 → (𝐷 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
16 sumtp.f . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐵𝐷 = 𝐹)
1716eleq1d 2683 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐵 → (𝐷 ∈ ℂ ↔ 𝐹 ∈ ℂ))
18 sumtp.g . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐶𝐷 = 𝐺)
1918eleq1d 2683 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐶 → (𝐷 ∈ ℂ ↔ 𝐺 ∈ ℂ))
2015, 17, 19raltpg 4212 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (∀𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 ∈ ℂ ↔ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ)))
2113, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 ∈ ℂ ↔ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ)))
2212, 21mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 ∈ ℂ)
2322r19.21bi 2927 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}) → 𝐷 ∈ ℂ)
247, 9, 11, 23fsumsplit 14412 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = (Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 + Σ𝑘 ∈ {𝐶}𝐷))
25 3simpa 1056 . . . . 5 ((𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ) → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ))
2612, 25syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ))
27 3simpa 1056 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (𝐴𝑉𝐵𝑊))
2813, 27syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑊))
29 sumtp.1 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
3014, 16, 26, 28, 29sumpr 14418 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 = (𝐸 + 𝐹))
3113simp3d 1073 . . . 4 (𝜑𝐶𝑋)
3212simp3d 1073 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
3318sumsn 14416 . . . 4 ((𝐶𝑋𝐺 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐶}𝐷 = 𝐺)
3431, 32, 33syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐶}𝐷 = 𝐺)
3530, 34oveq12d 6628 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 + Σ𝑘 ∈ {𝐶}𝐷) = ((𝐸 + 𝐹) + 𝐺))
3624, 35eqtrd 2655 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = ((𝐸 + 𝐹) + 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  cun 3557  cin 3558  c0 3896  {csn 4153  {cpr 4155  {ctp 4157  (class class class)co 6610  Fincfn 7907  cc 9886   + caddc 9891  Σcsu 14358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-sum 14359
This theorem is referenced by:  nnsum4primesodd  40999  nnsum4primesoddALTV  41000
  Copyright terms: Public domain W3C validator