MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumz 14246
Description: Any sum of zero over a summable set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sumz ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem sumz
Dummy variables 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2609 . . . . 5 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 simpr 475 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 simpl 471 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
4 c0ex 9890 . . . . . . . 8 0 ∈ V
54fvconst2 6352 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) = 0)
6 ifid 4074 . . . . . . 7 if(𝑘𝐴, 0, 0) = 0
75, 6syl6eqr 2661 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 0, 0))
87adantl 480 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 0, 0))
9 0cnd 9889 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ∈ ℂ)
101, 2, 3, 8, 9zsum 14242 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 0 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0}))))
11 fclim 14078 . . . . . 6 ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
12 ffun 5947 . . . . . 6 ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5 Fun ⇝
14 serclim0 14102 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0})) ⇝ 0)
1514adantl 480 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0})) ⇝ 0)
16 funbrfv 6129 . . . . 5 (Fun ⇝ → (seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0})) ⇝ 0 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0}))) = 0))
1713, 15, 16mpsyl 65 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0}))) = 0)
1810, 17eqtrd 2643 . . 3 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
19 uzf 11522 . . . . . . . . 9 :ℤ⟶𝒫 ℤ
2019fdmi 5951 . . . . . . . 8 dom ℤ = ℤ
2120eleq2i 2679 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ dom ℤ𝑀 ∈ ℤ)
22 ndmfv 6113 . . . . . . 7 𝑀 ∈ dom ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
2321, 22sylnbir 319 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
2423sseq2d 3595 . . . . 5 𝑀 ∈ ℤ → (𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ↔ 𝐴 ⊆ ∅))
2524biimpac 501 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ ∅)
26 ss0 3925 . . . 4 (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
27 sumeq1 14213 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → Σ𝑘𝐴 0 = Σ𝑘 ∈ ∅ 0)
28 sum0 14245 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ ∅ 0 = 0
2927, 28syl6eq 2659 . . . 4 (𝐴 = ∅ → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
3025, 26, 293syl 18 . . 3 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
3118, 30pm2.61dan 827 . 2 (𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
32 fz1f1o 14234 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
33 eqidd 2610 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑓𝑛) → 0 = 0)
34 simpl 471 . . . . . . . . 9 (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
35 simpr 475 . . . . . . . . 9 (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
36 0cnd 9889 . . . . . . . . 9 ((((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ∈ ℂ)
37 elfznn 12196 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
384fvconst2 6352 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴)) → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
4039adantl 480 . . . . . . . . 9 ((((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
4133, 34, 35, 36, 40fsum 14244 . . . . . . . 8 (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → Σ𝑘𝐴 0 = (seq1( + , (ℕ × {0}))‘(#‘𝐴)))
42 nnuz 11555 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
4342ser0 12670 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐴) ∈ ℕ → (seq1( + , (ℕ × {0}))‘(#‘𝐴)) = 0)
4443adantr 479 . . . . . . . 8 (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (seq1( + , (ℕ × {0}))‘(#‘𝐴)) = 0)
4541, 44eqtrd 2643 . . . . . . 7 (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
4645ex 448 . . . . . 6 ((#‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → Σ𝑘𝐴 0 = 0))
4746exlimdv 1847 . . . . 5 ((#‘𝐴) ∈ ℕ → (∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → Σ𝑘𝐴 0 = 0))
4847imp 443 . . . 4 (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
4929, 48jaoi 392 . . 3 ((𝐴 = ∅ ∨ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
5032, 49syl 17 . 2 (𝐴 ∈ Fin → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
5131, 50jaoi 392 1 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1976  wss 3539  c0 3873  ifcif 4035  𝒫 cpw 4107  {csn 4124   class class class wbr 4577   × cxp 5026  dom cdm 5028  Fun wfun 5784  wf 5786  1-1-ontowf1o 5789  cfv 5790  (class class class)co 6527  Fincfn 7818  cc 9790  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795  cn 10867  cz 11210  cuz 11519  ...cfz 12152  seqcseq 12618  #chash 12934  cli 14009  Σcsu 14210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-sum 14211
This theorem is referenced by:  fsum00  14317  fsumdvds  14814  pwp1fsum  14898  pcfac  15387  ovoliunnul  22999  vitalilem5  23104  itg1addlem5  23190  itg10a  23200  itg0  23269  itgz  23270  plymullem1  23691  coemullem  23727  logtayl  24123  ftalem5  24520  chp1  24610  logexprlim  24667  bposlem2  24727  rpvmasumlem  24893  axcgrid  25514  axlowdimlem16  25555  plymulx0  29756  signsplypnf  29759  knoppndvlem6  31484  volsupnfl  32427  binomcxplemnn0  37373  binomcxplemnotnn0  37380  sumnnodd  38501  stoweidlem37  38734  fourierdlem103  38906  fourierdlem104  38907  etransclem24  38955  etransclem32  38963  etransclem35  38966  sge0z  39072  aacllem  42319
  Copyright terms: Public domain W3C validator