MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumz 15067
Description: Any sum of zero over a summable set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sumz ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem sumz
Dummy variables 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . . . 5 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 simpr 485 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 simpl 483 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
4 c0ex 10623 . . . . . . . 8 0 ∈ V
54fvconst2 6958 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) = 0)
6 ifid 4502 . . . . . . 7 if(𝑘𝐴, 0, 0) = 0
75, 6syl6eqr 2871 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 0, 0))
87adantl 482 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 0, 0))
9 0cnd 10622 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ∈ ℂ)
101, 2, 3, 8, 9zsum 15063 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 0 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0}))))
11 fclim 14898 . . . . . 6 ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
12 ffun 6510 . . . . . 6 ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5 Fun ⇝
14 serclim0 14922 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0})) ⇝ 0)
1514adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0})) ⇝ 0)
16 funbrfv 6709 . . . . 5 (Fun ⇝ → (seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0})) ⇝ 0 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0}))) = 0))
1713, 15, 16mpsyl 68 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0}))) = 0)
1810, 17eqtrd 2853 . . 3 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
19 uzf 12234 . . . . . . . . 9 :ℤ⟶𝒫 ℤ
2019fdmi 6517 . . . . . . . 8 dom ℤ = ℤ
2120eleq2i 2901 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ dom ℤ𝑀 ∈ ℤ)
22 ndmfv 6693 . . . . . . 7 𝑀 ∈ dom ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
2321, 22sylnbir 332 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
2423sseq2d 3996 . . . . 5 𝑀 ∈ ℤ → (𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ↔ 𝐴 ⊆ ∅))
2524biimpac 479 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ ∅)
26 ss0 4349 . . . 4 (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
27 sumeq1 15033 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → Σ𝑘𝐴 0 = Σ𝑘 ∈ ∅ 0)
28 sum0 15066 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ ∅ 0 = 0
2927, 28syl6eq 2869 . . . 4 (𝐴 = ∅ → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
3025, 26, 293syl 18 . . 3 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
3118, 30pm2.61dan 809 . 2 (𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
32 fz1f1o 15055 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
33 eqidd 2819 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑓𝑛) → 0 = 0)
34 simpl 483 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
35 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
36 0cnd 10622 . . . . . . . . 9 ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ∈ ℂ)
37 elfznn 12924 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
384fvconst2 6958 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
4039adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
4133, 34, 35, 36, 40fsum 15065 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → Σ𝑘𝐴 0 = (seq1( + , (ℕ × {0}))‘(♯‘𝐴)))
42 nnuz 12269 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
4342ser0 13410 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (seq1( + , (ℕ × {0}))‘(♯‘𝐴)) = 0)
4443adantr 481 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (seq1( + , (ℕ × {0}))‘(♯‘𝐴)) = 0)
4541, 44eqtrd 2853 . . . . . . 7 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
4645ex 413 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → Σ𝑘𝐴 0 = 0))
4746exlimdv 1925 . . . . 5 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → Σ𝑘𝐴 0 = 0))
4847imp 407 . . . 4 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
4929, 48jaoi 851 . . 3 ((𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
5032, 49syl 17 . 2 (𝐴 ∈ Fin → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
5131, 50jaoi 851 1 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wss 3933  c0 4288  ifcif 4463  𝒫 cpw 4535  {csn 4557   class class class wbr 5057   × cxp 5546  dom cdm 5548  Fun wfun 6342  wf 6344  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  (class class class)co 7145  Fincfn 8497  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528  cn 11626  cz 11969  cuz 12231  ...cfz 12880  seqcseq 13357  chash 13678  cli 14829  Σcsu 15030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031
This theorem is referenced by:  fsum00  15141  fsumdvds  15646  pwp1fsum  15730  pcfac  16223  ovoliunnul  24035  vitalilem5  24140  itg1addlem5  24228  itg10a  24238  itg0  24307  itgz  24308  plymullem1  24731  coemullem  24767  logtayl  25170  ftalem5  25581  chp1  25671  logexprlim  25728  bposlem2  25788  rpvmasumlem  25990  axcgrid  26629  axlowdimlem16  26670  indsumin  31180  plymulx0  31716  signsplypnf  31719  fsum2dsub  31777  knoppndvlem6  33753  volsupnfl  34818  binomcxplemnn0  40558  binomcxplemnotnn0  40565  sumnnodd  41787  stoweidlem37  42199  fourierdlem103  42371  fourierdlem104  42372  etransclem24  42420  etransclem32  42428  etransclem35  42431  sge0z  42534  aacllem  44830
  Copyright terms: Public domain W3C validator