MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supaddc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supaddc 11028
Description: The supremum function distributes over addition in a sense similar to that in supmul1 11030. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
supadd.a1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
supadd.a2 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
supadd.a3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
supaddc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
supaddc.c 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + 𝐵)}
Assertion
Ref Expression
supaddc (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) = sup(𝐶, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑣   𝑥,𝐶   𝜑,𝑧,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑣)

Proof of Theorem supaddc
Dummy variables 𝑤 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3234 . . . . . . 7 𝑤 ∈ V
2 oveq1 6697 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑎 → (𝑣 + 𝐵) = (𝑎 + 𝐵))
32eqeq2d 2661 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑎 → (𝑧 = (𝑣 + 𝐵) ↔ 𝑧 = (𝑎 + 𝐵)))
43cbvrexv 3202 . . . . . . . 8 (∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + 𝐵) ↔ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (𝑎 + 𝐵))
5 eqeq1 2655 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑎 + 𝐵) ↔ 𝑤 = (𝑎 + 𝐵)))
65rexbidv 3081 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑎𝐴 𝑧 = (𝑎 + 𝐵) ↔ ∃𝑎𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵)))
74, 6syl5bb 272 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + 𝐵) ↔ ∃𝑎𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵)))
8 supaddc.c . . . . . . 7 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴 𝑧 = (𝑣 + 𝐵)}
91, 7, 8elab2 3386 . . . . . 6 (𝑤𝐶 ↔ ∃𝑎𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
10 supadd.a1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
1110sselda 3636 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
12 supadd.a2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
13 supadd.a3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
14 suprcl 11021 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
1510, 12, 13, 14syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
1615adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
17 supaddc.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1817adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
1910, 12, 133jca 1261 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
20 suprub 11022 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
2119, 20sylan 487 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝑎 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
2211, 16, 18, 21leadd1dd 10679 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑎 + 𝐵) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵))
23 breq1 4688 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → (𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ↔ (𝑎 + 𝐵) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
2422, 23syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
2524rexlimdva 3060 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑎𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
269, 25syl5bi 232 . . . . 5 (𝜑 → (𝑤𝐶𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
2726ralrimiv 2994 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵))
2811, 18readdcld 10107 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑎 + 𝐵) ∈ ℝ)
29 eleq1a 2725 . . . . . . . . 9 ((𝑎 + 𝐵) ∈ ℝ → (𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → 𝑤 ∈ ℝ))
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → 𝑤 ∈ ℝ))
3130rexlimdva 3060 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑎𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → 𝑤 ∈ ℝ))
329, 31syl5bi 232 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑤𝐶𝑤 ∈ ℝ))
3332ssrdv 3642 . . . . 5 (𝜑𝐶 ⊆ ℝ)
34 ovex 6718 . . . . . . . . 9 (𝑎 + 𝐵) ∈ V
3534isseti 3240 . . . . . . . 8 𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵)
3635rgenw 2953 . . . . . . 7 𝑎𝐴𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵)
37 r19.2z 4093 . . . . . . 7 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎𝐴𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵)) → ∃𝑎𝐴𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
3812, 36, 37sylancl 695 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑎𝐴𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
399exbii 1814 . . . . . . 7 (∃𝑤 𝑤𝐶 ↔ ∃𝑤𝑎𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
40 n0 3964 . . . . . . 7 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝐶)
41 rexcom4 3256 . . . . . . 7 (∃𝑎𝐴𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵) ↔ ∃𝑤𝑎𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
4239, 40, 413bitr4i 292 . . . . . 6 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑎𝐴𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
4338, 42sylibr 224 . . . . 5 (𝜑𝐶 ≠ ∅)
4415, 17readdcld 10107 . . . . . 6 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ∈ ℝ)
45 breq2 4689 . . . . . . . 8 (𝑥 = (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) → (𝑤𝑥𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
4645ralbidv 3015 . . . . . . 7 (𝑥 = (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) → (∀𝑤𝐶 𝑤𝑥 ↔ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
4746rspcev 3340 . . . . . 6 (((sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥)
4844, 27, 47syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥)
49 suprleub 11027 . . . . 5 (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ∈ ℝ) → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ↔ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
5033, 43, 48, 44, 49syl31anc 1369 . . . 4 (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ↔ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
5127, 50mpbird 247 . . 3 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵))
52 suprcl 11021 . . . . . . . 8 ((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5333, 43, 48, 52syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5453, 17, 15ltsubaddd 10661 . . . . . 6 (𝜑 → ((sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)))
5554biimpar 501 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) → (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < sup(𝐴, ℝ, < ))
5653, 17resubcld 10496 . . . . . . 7 (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) ∈ ℝ)
57 suprlub 11025 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) ∈ ℝ) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑎𝐴 (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < 𝑎))
5810, 12, 13, 56, 57syl31anc 1369 . . . . . 6 (𝜑 → ((sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑎𝐴 (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < 𝑎))
5958adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑎𝐴 (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < 𝑎))
6055, 59mpbid 222 . . . 4 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) → ∃𝑎𝐴 (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < 𝑎)
61 rspe 3032 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝐴𝑤 = (𝑎 + 𝐵)) → ∃𝑎𝐴 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
6261, 9sylibr 224 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎𝐴𝑤 = (𝑎 + 𝐵)) → 𝑤𝐶)
6362adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑤 = (𝑎 + 𝐵))) → 𝑤𝐶)
64 simplrr 818 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑤 = (𝑎 + 𝐵))) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑤 = (𝑎 + 𝐵))
6533, 43, 483jca 1261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥))
66 suprub 11022 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
6765, 66sylan 487 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
6867adantlr 751 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑤 = (𝑎 + 𝐵))) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
6964, 68eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑤 = (𝑎 + 𝐵))) ∧ 𝑤𝐶) → (𝑎 + 𝐵) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
7063, 69mpdan 703 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐴𝑤 = (𝑎 + 𝐵))) → (𝑎 + 𝐵) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
7170expr 642 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → (𝑎 + 𝐵) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
7271exlimdv 1901 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → (∃𝑤 𝑤 = (𝑎 + 𝐵) → (𝑎 + 𝐵) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
7335, 72mpi 20 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑎 + 𝐵) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
7473adantlr 751 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑎 + 𝐵) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
7528adantlr 751 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑎 + 𝐵) ∈ ℝ)
7653ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎𝐴) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
7775, 76lenltd 10221 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎𝐴) → ((𝑎 + 𝐵) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝑎 + 𝐵)))
7874, 77mpbid 222 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎𝐴) → ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝑎 + 𝐵))
7917ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
8011adantlr 751 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
8176, 79, 80ltsubaddd 10661 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎𝐴) → ((sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < 𝑎 ↔ sup(𝐶, ℝ, < ) < (𝑎 + 𝐵)))
8278, 81mtbird 314 . . . . 5 (((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) ∧ 𝑎𝐴) → ¬ (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < 𝑎)
8382nrexdv 3030 . . . 4 ((𝜑 ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵)) → ¬ ∃𝑎𝐴 (sup(𝐶, ℝ, < ) − 𝐵) < 𝑎)
8460, 83pm2.65da 599 . . 3 (𝜑 → ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵))
8553, 44eqleltd 10219 . . 3 (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) = (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ↔ (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) ∧ ¬ sup(𝐶, ℝ, < ) < (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵))))
8651, 84, 85mpbir2and 977 . 2 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) = (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵))
8786eqcomd 2657 1 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) + 𝐵) = sup(𝐶, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  {cab 2637  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  supcsup 8387  cr 9973   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307
This theorem is referenced by:  supadd  11029  supsubc  39882
  Copyright terms: Public domain W3C validator