MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supcvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supcvg 14376
Description: Extract a sequence 𝑓 in 𝑋 such that the image of the points in the bounded set 𝐴 converges to the supremum 𝑆 of the set. Similar to Equation 4 of [Kreyszig] p. 144. The proof uses countable choice ax-cc 9118. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
supcvg.1 𝑋 ∈ V
supcvg.2 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
supcvg.3 𝑅 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑆 − (1 / 𝑛)))
supcvg.4 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
supcvg.5 (𝜑𝐹:𝑋onto𝐴)
supcvg.6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
supcvg.7 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Assertion
Ref Expression
supcvg (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ (𝐹𝑓) ⇝ 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐹   𝑓,𝑛,𝜑   𝑅,𝑓,𝑥   𝑓,𝑋,𝑥   𝑥,𝑦,𝐴   𝑆,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑓,𝑛)   𝑅(𝑦,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐹(𝑦,𝑛)   𝑋(𝑦,𝑛)

Proof of Theorem supcvg
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6535 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
21oveq2d 6543 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (𝑆 − (1 / 𝑛)) = (𝑆 − (1 / 𝑘)))
3 supcvg.3 . . . . . . . . . . 11 𝑅 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑆 − (1 / 𝑛)))
4 ovex 6555 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 − (1 / 𝑘)) ∈ V
52, 3, 4fvmpt 6176 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑅𝑘) = (𝑆 − (1 / 𝑘)))
65adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅𝑘) = (𝑆 − (1 / 𝑘)))
7 supcvg.2 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = sup(𝐴, ℝ, < )
8 supcvg.6 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
9 supcvg.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
10 supcvg.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹:𝑋onto𝐴)
11 fof 6013 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:𝑋onto𝐴𝐹:𝑋𝐴)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝑋𝐴)
13 feq3 5927 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 = ∅ → (𝐹:𝑋𝐴𝐹:𝑋⟶∅))
1412, 13syl5ibcom 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 = ∅ → 𝐹:𝑋⟶∅))
15 f00 5985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:𝑋⟶∅ ↔ (𝐹 = ∅ ∧ 𝑋 = ∅))
1615simprbi 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:𝑋⟶∅ → 𝑋 = ∅)
1714, 16syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 = ∅ → 𝑋 = ∅))
1817necon3d 2802 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 ≠ ∅ → 𝐴 ≠ ∅))
199, 18mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
20 supcvg.7 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
218, 19, 203jca 1234 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
22 suprcl 10835 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
247, 23syl5eqel 2691 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
25 nnrp 11677 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
2625rpreccld 11717 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ+)
27 ltsubrp 11701 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑘) ∈ ℝ+) → (𝑆 − (1 / 𝑘)) < 𝑆)
2824, 26, 27syl2an 492 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆 − (1 / 𝑘)) < 𝑆)
296, 28eqbrtrd 4599 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅𝑘) < 𝑆)
3029, 7syl6breq 4618 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅𝑘) < sup(𝐴, ℝ, < ))
3121adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
32 nnrecre 10907 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
33 resubcl 10197 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℝ) → (𝑆 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
3424, 32, 33syl2an 492 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
3534, 3fmptd 6277 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅:ℕ⟶ℝ)
3635ffvelrnda 6252 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅𝑘) ∈ ℝ)
37 suprlub 10837 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝑅𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑅𝑘) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧𝐴 (𝑅𝑘) < 𝑧))
3831, 36, 37syl2anc 690 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑅𝑘) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧𝐴 (𝑅𝑘) < 𝑧))
3930, 38mpbid 220 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑧𝐴 (𝑅𝑘) < 𝑧)
4036adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑅𝑘) ∈ ℝ)
418adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4241sselda 3567 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
43 ltle 9978 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑘) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑅𝑘) < 𝑧 → (𝑅𝑘) ≤ 𝑧))
4440, 42, 43syl2anc 690 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑅𝑘) < 𝑧 → (𝑅𝑘) ≤ 𝑧))
4544reximdva 2999 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑧𝐴 (𝑅𝑘) < 𝑧 → ∃𝑧𝐴 (𝑅𝑘) ≤ 𝑧))
4639, 45mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑧𝐴 (𝑅𝑘) ≤ 𝑧)
47 forn 6016 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑋onto𝐴 → ran 𝐹 = 𝐴)
4810, 47syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐴)
4948rexeqdv 3121 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ran 𝐹(𝑅𝑘) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑧𝐴 (𝑅𝑘) ≤ 𝑧))
50 ffn 5944 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋𝐴𝐹 Fn 𝑋)
51 breq2 4581 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝐹𝑥) → ((𝑅𝑘) ≤ 𝑧 ↔ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹𝑥)))
5251rexrn 6254 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝑋 → (∃𝑧 ∈ ran 𝐹(𝑅𝑘) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑥𝑋 (𝑅𝑘) ≤ (𝐹𝑥)))
5312, 50, 523syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ran 𝐹(𝑅𝑘) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑥𝑋 (𝑅𝑘) ≤ (𝐹𝑥)))
5449, 53bitr3d 268 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑧𝐴 (𝑅𝑘) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑥𝑋 (𝑅𝑘) ≤ (𝐹𝑥)))
5554adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑧𝐴 (𝑅𝑘) ≤ 𝑧 ↔ ∃𝑥𝑋 (𝑅𝑘) ≤ (𝐹𝑥)))
5646, 55mpbid 220 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑥𝑋 (𝑅𝑘) ≤ (𝐹𝑥))
5756ralrimiva 2948 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥𝑋 (𝑅𝑘) ≤ (𝐹𝑥))
58 supcvg.1 . . . 4 𝑋 ∈ V
59 nnenom 12599 . . . 4 ℕ ≈ ω
60 fveq2 6088 . . . . 5 (𝑥 = (𝑓𝑘) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑓𝑘)))
6160breq2d 4589 . . . 4 (𝑥 = (𝑓𝑘) → ((𝑅𝑘) ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))))
6258, 59, 61axcc4 9122 . . 3 (∀𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥𝑋 (𝑅𝑘) ≤ (𝐹𝑥) → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))))
6357, 62syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))))
64 nnuz 11558 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
65 1zzd 11244 . . . . . 6 (((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) → 1 ∈ ℤ)
66 1zzd 11244 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
6724recnd 9925 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
68 1z 11243 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
6964eqimss2i 3622 . . . . . . . . . . 11 (ℤ‘1) ⊆ ℕ
70 nnex 10876 . . . . . . . . . . 11 ℕ ∈ V
7169, 70climconst2 14076 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {𝑆}) ⇝ 𝑆)
7267, 68, 71sylancl 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℕ × {𝑆}) ⇝ 𝑆)
7370mptex 6368 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑆 − (1 / 𝑛))) ∈ V
743, 73eqeltri 2683 . . . . . . . . . 10 𝑅 ∈ V
7574a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ V)
76 ax-1cn 9851 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
77 divcnv 14373 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
7876, 77mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
79 fvconst2g 6350 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑆})‘𝑘) = 𝑆)
8024, 79sylan 486 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑆})‘𝑘) = 𝑆)
8167adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ ℂ)
8280, 81eqeltrd 2687 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝑆})‘𝑘) ∈ ℂ)
83 eqid 2609 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
84 ovex 6555 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 𝑘) ∈ V
851, 83, 84fvmpt 6176 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) = (1 / 𝑘))
8685adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) = (1 / 𝑘))
87 nnrecre 10907 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
8887recnd 9925 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
8988adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
9086, 89eqeltrd 2687 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
9180, 86oveq12d 6545 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝑆})‘𝑘) − ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘)) = (𝑆 − (1 / 𝑘)))
926, 91eqtr4d 2646 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅𝑘) = (((ℕ × {𝑆})‘𝑘) − ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘)))
9364, 66, 72, 75, 78, 82, 90, 92climsub 14161 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ⇝ (𝑆 − 0))
9467subid1d 10233 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 − 0) = 𝑆)
9593, 94breqtrd 4603 . . . . . . 7 (𝜑𝑅𝑆)
9695ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) → 𝑅𝑆)
9712ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) → 𝐹:𝑋𝐴)
98 fex 6372 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑋𝐴𝑋 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
9997, 58, 98sylancl 692 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) → 𝐹 ∈ V)
100 vex 3175 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
101 coexg 6988 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ V) → (𝐹𝑓) ∈ V)
10299, 100, 101sylancl 692 . . . . . 6 (((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) → (𝐹𝑓) ∈ V)
10335ad2antrr 757 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) → 𝑅:ℕ⟶ℝ)
104103ffvelrnda 6252 . . . . . 6 ((((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅𝑚) ∈ ℝ)
10512, 8fssd 5956 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
106 fco 5957 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑋) → (𝐹𝑓):ℕ⟶ℝ)
107105, 106sylan 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) → (𝐹𝑓):ℕ⟶ℝ)
108107adantr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) → (𝐹𝑓):ℕ⟶ℝ)
109108ffvelrnda 6252 . . . . . 6 ((((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑓)‘𝑚) ∈ ℝ)
110 fveq2 6088 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → (𝑅𝑘) = (𝑅𝑚))
111 fveq2 6088 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (𝑓𝑘) = (𝑓𝑚))
112111fveq2d 6092 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹‘(𝑓𝑘)) = (𝐹‘(𝑓𝑚)))
113110, 112breq12d 4590 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘)) ↔ (𝑅𝑚) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑚))))
114113rspccva 3280 . . . . . . . 8 ((∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅𝑚) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑚)))
115114adantll 745 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅𝑚) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑚)))
116 simplr 787 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) → 𝑓:ℕ⟶𝑋)
117 fvco3 6170 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ⟶𝑋𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑓)‘𝑚) = (𝐹‘(𝑓𝑚)))
118116, 117sylan 486 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑓)‘𝑚) = (𝐹‘(𝑓𝑚)))
119115, 118breqtrrd 4605 . . . . . 6 ((((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑅𝑚) ≤ ((𝐹𝑓)‘𝑚))
12021ad3antrrr 761 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
121116ffvelrnda 6252 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑓𝑚) ∈ 𝑋)
12297ffvelrnda 6252 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) ∧ (𝑓𝑚) ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑓𝑚)) ∈ 𝐴)
123121, 122syldan 485 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑓𝑚)) ∈ 𝐴)
124 suprub 10836 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝐹‘(𝑓𝑚)) ∈ 𝐴) → (𝐹‘(𝑓𝑚)) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
125120, 123, 124syl2anc 690 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑓𝑚)) ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
126125, 7syl6breqr 4619 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑓𝑚)) ≤ 𝑆)
127118, 126eqbrtrd 4599 . . . . . 6 ((((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑓)‘𝑚) ≤ 𝑆)
12864, 65, 96, 102, 104, 109, 119, 127climsqz 14168 . . . . 5 (((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) → (𝐹𝑓) ⇝ 𝑆)
129128ex 448 . . . 4 ((𝜑𝑓:ℕ⟶𝑋) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘)) → (𝐹𝑓) ⇝ 𝑆))
130129imdistanda 724 . . 3 (𝜑 → ((𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) → (𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ (𝐹𝑓) ⇝ 𝑆)))
131130eximdv 1832 . 2 (𝜑 → (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) ≤ (𝐹‘(𝑓𝑘))) → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ (𝐹𝑓) ⇝ 𝑆)))
13263, 131mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 ∧ (𝐹𝑓) ⇝ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  Vcvv 3172  wss 3539  c0 3873  {csn 4124   class class class wbr 4577  cmpt 4637   × cxp 5026  ran crn 5029  ccom 5032   Fn wfn 5785  wf 5786  ontowfo 5788  cfv 5790  (class class class)co 6527  supcsup 8207  cc 9791  cr 9792  0cc0 9793  1c1 9794   < clt 9931  cle 9932  cmin 10118   / cdiv 10536  cn 10870  cz 11213  cuz 11522  +crp 11667  cli 14012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cc 9118  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-pm 7725  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-sup 8209  df-inf 8210  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-rp 11668  df-fl 12413  df-seq 12622  df-exp 12681  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-clim 14016  df-rlim 14017
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator