MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supfirege Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supfirege 10856
Description: The supremum of a finite set of real numbers is greater than or equal to all the real numbers of the set. (Contributed by AV, 1-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
supfirege.1 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
supfirege.2 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
supfirege.3 (𝜑𝐶𝐵)
supfirege.4 (𝜑𝑆 = sup(𝐵, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
supfirege (𝜑𝐶𝑆)

Proof of Theorem supfirege
StepHypRef Expression
1 ltso 9969 . . . 4 < Or ℝ
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → < Or ℝ)
3 supfirege.1 . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
4 supfirege.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
5 supfirege.3 . . 3 (𝜑𝐶𝐵)
6 supfirege.4 . . 3 (𝜑𝑆 = sup(𝐵, ℝ, < ))
72, 3, 4, 5, 6supgtoreq 8236 . 2 (𝜑 → (𝐶 < 𝑆𝐶 = 𝑆))
83, 5sseldd 3568 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
9 ne0i 3879 . . . . . . 7 (𝐶𝐵𝐵 ≠ ∅)
105, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
11 fisupcl 8235 . . . . . 6 (( < Or ℝ ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ⊆ ℝ)) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ 𝐵)
122, 4, 10, 3, 11syl13anc 1319 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ 𝐵)
136, 12eqeltrd 2687 . . . 4 (𝜑𝑆𝐵)
143, 13sseldd 3568 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
158, 14leloed 10031 . 2 (𝜑 → (𝐶𝑆 ↔ (𝐶 < 𝑆𝐶 = 𝑆)))
167, 15mpbird 245 1 (𝜑𝐶𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 381   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wss 3539  c0 3873   class class class wbr 4577   Or wor 4948  Fincfn 7818  supcsup 8206  cr 9791   < clt 9930  cle 9931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-om 6935  df-1o 7424  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiub  12607  fsuppmapnn0fiubOLD  12608  ssuzfz  38310
  Copyright terms: Public domain W3C validator