MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supicclub2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supicclub2 12516
Description: The supremum of a bounded set of real numbers is the least upper bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
supicc.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
supicc.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
supicc.3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
supicc.4 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
supiccub.1 (𝜑𝐷𝐴)
supicclub2.1 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧𝐷)
Assertion
Ref Expression
supicclub2 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐷   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑧)

Proof of Theorem supicclub2
StepHypRef Expression
1 supicclub2.1 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧𝐷)
2 supicc.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
3 iccssxr 12449 . . . . . . . 8 (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
42, 3syl6ss 3756 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
54sselda 3744 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ*)
6 supiccub.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷𝐴)
74, 6sseldd 3745 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
87adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝐷 ∈ ℝ*)
9 xrlenlt 10295 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (𝑧𝐷 ↔ ¬ 𝐷 < 𝑧))
105, 8, 9syl2anc 696 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝑧𝐷 ↔ ¬ 𝐷 < 𝑧))
111, 10mpbid 222 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐴) → ¬ 𝐷 < 𝑧)
1211nrexdv 3139 . . 3 (𝜑 → ¬ ∃𝑧𝐴 𝐷 < 𝑧)
13 supicc.1 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
14 supicc.2 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
15 supicc.4 . . . 4 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
1613, 14, 2, 15, 6supicclub 12515 . . 3 (𝜑 → (𝐷 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧𝐴 𝐷 < 𝑧))
1712, 16mtbird 314 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐷 < sup(𝐴, ℝ, < ))
1813, 14, 2, 15supicc 12513 . . . 4 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶))
193, 18sseldi 3742 . . 3 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
20 xrlenlt 10295 . . 3 ((sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐷 ↔ ¬ 𝐷 < sup(𝐴, ℝ, < )))
2119, 7, 20syl2anc 696 . 2 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐷 ↔ ¬ 𝐷 < sup(𝐴, ℝ, < )))
2217, 21mpbird 247 1 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051  wss 3715  c0 4058   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  supcsup 8511  cr 10127  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267  [,]cicc 12371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-icc 12375
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator