Theorem supicclub2 12516

Description: The supremum of a bounded set of real numbers is the least upper bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
supicc.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
supicc.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
supicc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
supicc.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
supiccub.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)
supicclub2.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
supicclub2	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐷)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐷   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑧)

Proof of Theorem supicclub2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supicclub2.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ≤ 𝐷)
2		supicc.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
3		iccssxr 12449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
4	2, 3	syl6ss 3756	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
5	4	sselda 3744	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ*)
6		supiccub.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)
7	4, 6	sseldd 3745	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
8	7	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℝ*)
9		xrlenlt 10295	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) → (𝑧 ≤ 𝐷 ↔ ¬ 𝐷 < 𝑧))
10	5, 8, 9	syl2anc 696	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ≤ 𝐷 ↔ ¬ 𝐷 < 𝑧))
11	1, 10	mpbid 222	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐷 < 𝑧)
12	11	nrexdv 3139	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐷 < 𝑧)
13		supicc.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
14		supicc.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
15		supicc.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
16	13, 14, 2, 15, 6	supicclub 12515	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐷 < 𝑧))
17	12, 16	mtbird 314	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐷 < sup(𝐴, ℝ, < ))
18	13, 14, 2, 15	supicc 12513	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶))
19	3, 18	sseldi 3742	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
20		xrlenlt 10295	. . 3 ⊢ ((sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐷 ↔ ¬ 𝐷 < sup(𝐴, ℝ, < )))
21	19, 7, 20	syl2anc 696	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐷 ↔ ¬ 𝐷 < sup(𝐴, ℝ, < )))
22	17, 21	mpbird 247	1 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∃wrex 3051   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  supcsup 8511  ℝcr 10127  ℝ^*cxr 10265   < clt 10266   ≤ cle 10267  [,]cicc 12371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-icc 12375

This theorem is referenced by: (None)