MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supicclub2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supicclub2 12877
Description: The supremum of a bounded set of real numbers is the least upper bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
supicc.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
supicc.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
supicc.3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
supicc.4 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
supiccub.1 (𝜑𝐷𝐴)
supicclub2.1 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧𝐷)
Assertion
Ref Expression
supicclub2 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐷   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑧)

Proof of Theorem supicclub2
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12807 . . 3 (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ*
2 supicc.1 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 supicc.2 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 supicc.3 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
5 supicc.4 . . . 4 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
62, 3, 4, 5supicc 12874 . . 3 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,]𝐶))
71, 6sseldi 3962 . 2 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ*)
84, 1sstrdi 3976 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
9 supiccub.1 . . 3 (𝜑𝐷𝐴)
108, 9sseldd 3965 . 2 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
11 supicclub2.1 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧𝐷)
128sselda 3964 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ*)
1310adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝐷 ∈ ℝ*)
1412, 13xrlenltd 10695 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝑧𝐷 ↔ ¬ 𝐷 < 𝑧))
1511, 14mpbid 233 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐴) → ¬ 𝐷 < 𝑧)
1615nrexdv 3267 . . 3 (𝜑 → ¬ ∃𝑧𝐴 𝐷 < 𝑧)
172, 3, 4, 5, 9supicclub 12876 . . 3 (𝜑 → (𝐷 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧𝐴 𝐷 < 𝑧))
1816, 17mtbird 326 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐷 < sup(𝐴, ℝ, < ))
197, 10, 18xrnltled 10697 1 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  wss 3933  c0 4288   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  supcsup 8892  cr 10524  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  [,]cicc 12729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-icc 12733
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator