MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supiccub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supiccub 12263
Description: The supremum of a bounded set of real numbers is an upper bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
supicc.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
supicc.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
supicc.3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
supicc.4 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
supiccub.1 (𝜑𝐷𝐴)
Assertion
Ref Expression
supiccub (𝜑𝐷 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))

Proof of Theorem supiccub
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supicc.3 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
2 supicc.1 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 supicc.2 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 iccssre 12197 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
52, 3, 4syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
61, 5sstrd 3593 . 2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
7 supicc.4 . 2 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
82adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
98rexrd 10033 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
103adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
1110rexrd 10033 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
121sselda 3583 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))
13 iccleub 12171 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑥𝐶)
149, 11, 12, 13syl3anc 1323 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐶)
1514ralrimiva 2960 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑥𝐶)
16 breq2 4617 . . . . 5 (𝑦 = 𝐶 → (𝑥𝑦𝑥𝐶))
1716ralbidv 2980 . . . 4 (𝑦 = 𝐶 → (∀𝑥𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐶))
1817rspcev 3295 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐶) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦)
193, 15, 18syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦)
20 supiccub.1 . 2 (𝜑𝐷𝐴)
21 suprub 10928 . 2 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝐷𝐴) → 𝐷 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
226, 7, 19, 20, 21syl31anc 1326 1 (𝜑𝐷 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  wss 3555  c0 3891   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  supcsup 8290  cr 9879  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  [,]cicc 12120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-icc 12124
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator