MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suplem2pr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suplem2pr 9731
Description: The union of a set of positive reals (if a positive real) is its supremum (the least upper bound). Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
suplem2pr (𝐴P → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝐴<P 𝑦) ∧ (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
Distinct variable group:   𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem suplem2pr
StepHypRef Expression
1 ltrelpr 9676 . . . . . 6 <P ⊆ (P × P)
21brel 5080 . . . . 5 (𝑦<P 𝐴 → (𝑦P 𝐴P))
32simpld 473 . . . 4 (𝑦<P 𝐴𝑦P)
4 ralnex 2974 . . . . . . . . 9 (∀𝑧𝐴 ¬ 𝑦<P 𝑧 ↔ ¬ ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)
5 ssel2 3562 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴P𝑧𝐴) → 𝑧P)
6 ltsopr 9710 . . . . . . . . . . . . . . . 16 <P Or P
7 sotric 4975 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((<P Or P ∧ (𝑦P𝑧P)) → (𝑦<P 𝑧 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑧𝑧<P 𝑦)))
86, 7mpan 701 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦P𝑧P) → (𝑦<P 𝑧 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑧𝑧<P 𝑦)))
98con2bid 342 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦P𝑧P) → ((𝑦 = 𝑧𝑧<P 𝑦) ↔ ¬ 𝑦<P 𝑧))
109ancoms 467 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧P𝑦P) → ((𝑦 = 𝑧𝑧<P 𝑦) ↔ ¬ 𝑦<P 𝑧))
11 ltprord 9708 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧P𝑦P) → (𝑧<P 𝑦𝑧𝑦))
1211orbi2d 733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧P𝑦P) → ((𝑦 = 𝑧𝑧<P 𝑦) ↔ (𝑦 = 𝑧𝑧𝑦)))
13 sspss 3667 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝑦 ↔ (𝑧𝑦𝑧 = 𝑦))
14 equcom 1931 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑦𝑦 = 𝑧)
1514orbi2i 539 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧𝑦𝑧 = 𝑦) ↔ (𝑧𝑦𝑦 = 𝑧))
16 orcom 400 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧𝑦𝑦 = 𝑧) ↔ (𝑦 = 𝑧𝑧𝑦))
1713, 15, 163bitri 284 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑦 ↔ (𝑦 = 𝑧𝑧𝑦))
1812, 17syl6bbr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧P𝑦P) → ((𝑦 = 𝑧𝑧<P 𝑦) ↔ 𝑧𝑦))
1910, 18bitr3d 268 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧P𝑦P) → (¬ 𝑦<P 𝑧𝑧𝑦))
205, 19sylan 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴P𝑧𝐴) ∧ 𝑦P) → (¬ 𝑦<P 𝑧𝑧𝑦))
2120an32s 841 . . . . . . . . . 10 (((𝐴P𝑦P) ∧ 𝑧𝐴) → (¬ 𝑦<P 𝑧𝑧𝑦))
2221ralbidva 2967 . . . . . . . . 9 ((𝐴P𝑦P) → (∀𝑧𝐴 ¬ 𝑦<P 𝑧 ↔ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦))
234, 22syl5bbr 272 . . . . . . . 8 ((𝐴P𝑦P) → (¬ ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧 ↔ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦))
24 unissb 4399 . . . . . . . 8 ( 𝐴𝑦 ↔ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦)
2523, 24syl6bbr 276 . . . . . . 7 ((𝐴P𝑦P) → (¬ ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧 𝐴𝑦))
26 ssnpss 3671 . . . . . . . 8 ( 𝐴𝑦 → ¬ 𝑦 𝐴)
27 ltprord 9708 . . . . . . . . . 10 ((𝑦P 𝐴P) → (𝑦<P 𝐴𝑦 𝐴))
2827biimpd 217 . . . . . . . . 9 ((𝑦P 𝐴P) → (𝑦<P 𝐴𝑦 𝐴))
292, 28mpcom 37 . . . . . . . 8 (𝑦<P 𝐴𝑦 𝐴)
3026, 29nsyl 133 . . . . . . 7 ( 𝐴𝑦 → ¬ 𝑦<P 𝐴)
3125, 30syl6bi 241 . . . . . 6 ((𝐴P𝑦P) → (¬ ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧 → ¬ 𝑦<P 𝐴))
3231con4d 112 . . . . 5 ((𝐴P𝑦P) → (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧))
3332ex 448 . . . 4 (𝐴P → (𝑦P → (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
343, 33syl5 33 . . 3 (𝐴P → (𝑦<P 𝐴 → (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
3534pm2.43d 50 . 2 (𝐴P → (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧))
36 elssuni 4397 . . . 4 (𝑦𝐴𝑦 𝐴)
37 ssnpss 3671 . . . 4 (𝑦 𝐴 → ¬ 𝐴𝑦)
3836, 37syl 17 . . 3 (𝑦𝐴 → ¬ 𝐴𝑦)
391brel 5080 . . . 4 ( 𝐴<P 𝑦 → ( 𝐴P𝑦P))
40 ltprord 9708 . . . . 5 (( 𝐴P𝑦P) → ( 𝐴<P 𝑦 𝐴𝑦))
4140biimpd 217 . . . 4 (( 𝐴P𝑦P) → ( 𝐴<P 𝑦 𝐴𝑦))
4239, 41mpcom 37 . . 3 ( 𝐴<P 𝑦 𝐴𝑦)
4338, 42nsyl 133 . 2 (𝑦𝐴 → ¬ 𝐴<P 𝑦)
4435, 43jctil 557 1 (𝐴P → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝐴<P 𝑦) ∧ (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  wcel 1976  wral 2895  wrex 2896  wss 3539  wpss 3540   cuni 4366   class class class wbr 4577   Or wor 4948  Pcnp 9537  <P cltp 9541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-oadd 7428  df-omul 7429  df-er 7606  df-ni 9550  df-mi 9552  df-lti 9553  df-ltpq 9588  df-enq 9589  df-nq 9590  df-ltnq 9596  df-np 9659  df-ltp 9663
This theorem is referenced by:  supexpr  9732
  Copyright terms: Public domain W3C validator