Theorem suplesup2 39905

Description: If any element of 𝐴 is smaller or equal to an element in 𝐵, then the supremum of 𝐴 is smaller or equal to the supremum of 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplesup2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
suplesup2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ*)
suplesup2.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
suplesup2	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem suplesup2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplesup2.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦)
2		suplesup2.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ*)
3	2	sselda 3636	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
4	3	3ad2ant1 1102	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ*)
5		simp1l 1105	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝜑)
6		simp2 1082	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐵)
7		suplesup2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ*)
8	7	sselda 3636	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ*)
9	5, 6, 8	syl2anc 694	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
10		supxrcl 12183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ⊆ ℝ* → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
11	7, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
12	5, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
13		simp3 1083	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑥 ≤ 𝑦)
14	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ ℝ*)
15		simpr 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
16		supxrub 12192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
17	14, 15, 16	syl2anc 694	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
18	5, 6, 17	syl2anc 694	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑦 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
19	4, 9, 12, 13, 18	xrletrd 12031	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
20	19	3exp 1283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))))
21	20	rexlimdv 3059	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )))
22	1, 21	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
23	22	ralrimiva 2995	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
24		supxrleub 12194	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )))
25	2, 11, 24	syl2anc 694	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )))
26	23, 25	mpbird 247	1 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685  supcsup 8387  ℝ^*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307

This theorem is referenced by:  sge0reuz  40982