Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  suplesup2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suplesup2 39905
 Description: If any element of 𝐴 is smaller or equal to an element in 𝐵, then the supremum of 𝐴 is smaller or equal to the supremum of 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
suplesup2.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
suplesup2.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
suplesup2.c ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐵 𝑥𝑦)
Assertion
Ref Expression
suplesup2 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem suplesup2
StepHypRef Expression
1 suplesup2.c . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐵 𝑥𝑦)
2 suplesup2.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
32sselda 3636 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
433ad2ant1 1102 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ*)
5 simp1l 1105 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → 𝜑)
6 simp2 1082 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → 𝑦𝐵)
7 suplesup2.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ*)
87sselda 3636 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ*)
95, 6, 8syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
10 supxrcl 12183 . . . . . . . . 9 (𝐵 ⊆ ℝ* → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
117, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
125, 11syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
13 simp3 1083 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → 𝑥𝑦)
147adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝐵 ⊆ ℝ*)
15 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
16 supxrub 12192 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ⊆ ℝ*𝑦𝐵) → 𝑦 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
1714, 15, 16syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑦 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
185, 6, 17syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → 𝑦 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
194, 9, 12, 13, 18xrletrd 12031 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐵𝑥𝑦) → 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
20193exp 1283 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑦𝐵 → (𝑥𝑦𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))))
2120rexlimdv 3059 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (∃𝑦𝐵 𝑥𝑦𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )))
221, 21mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
2322ralrimiva 2995 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
24 supxrleub 12194 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )))
252, 11, 24syl2anc 694 . 2 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )))
2623, 25mpbird 247 1 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685  supcsup 8387  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307 This theorem is referenced by:  sge0reuz  40982
 Copyright terms: Public domain W3C validator