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Theorem supminfxr 40007
Description: The extended real suprema of a set of reals is the extended real negative of the extended real infima of that set's image under negation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
supminfxr.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
Assertion
Ref Expression
supminfxr (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem supminfxr
Dummy variables 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supeq1 8392 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(∅, ℝ*, < ))
2 xrsup0 12191 . . . . . 6 sup(∅, ℝ*, < ) = -∞
32a1i 11 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → sup(∅, ℝ*, < ) = -∞)
41, 3eqtrd 2685 . . . 4 (𝐴 = ∅ → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -∞)
54adantl 481 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -∞)
6 eleq2 2719 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = ∅ → (-𝑥𝐴 ↔ -𝑥 ∈ ∅))
76rabbidv 3220 . . . . . . . . 9 (𝐴 = ∅ → {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ ∅})
8 noel 3952 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ -𝑥 ∈ ∅
98a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → ¬ -𝑥 ∈ ∅)
109rgen 2951 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ ℝ ¬ -𝑥 ∈ ∅
11 rabeq0 3990 . . . . . . . . . . 11 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ ∅} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ -𝑥 ∈ ∅)
1210, 11mpbir 221 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ ∅} = ∅
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 = ∅ → {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥 ∈ ∅} = ∅)
147, 13eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} = ∅)
1514infeq1d 8424 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = inf(∅, ℝ*, < ))
16 xrinf0 12206 . . . . . . . 8 inf(∅, ℝ*, < ) = +∞
1716a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → inf(∅, ℝ*, < ) = +∞)
1815, 17eqtrd 2685 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = +∞)
1918xnegeqd 39977 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = -𝑒+∞)
20 xnegpnf 12078 . . . . . 6 -𝑒+∞ = -∞
2120a1i 11 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → -𝑒+∞ = -∞)
2219, 21eqtrd 2685 . . . 4 (𝐴 = ∅ → -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = -∞)
2322adantl 481 . . 3 ((𝜑𝐴 = ∅) → -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = -∞)
245, 23eqtr4d 2688 . 2 ((𝜑𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ))
25 neqne 2831 . . 3 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
26 supminfxr.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2726ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → 𝐴 ⊆ ℝ)
28 simplr 807 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → 𝐴 ≠ ∅)
29 simpr 476 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦)
30 negn0 10497 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ≠ ∅)
31 ublbneg 11811 . . . . . . . . . 10 (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑦𝑧)
32 ssrab2 3720 . . . . . . . . . . 11 {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ⊆ ℝ
33 infrenegsup 11044 . . . . . . . . . . 11 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑦𝑧) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}}, ℝ, < ))
3432, 33mp3an1 1451 . . . . . . . . . 10 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑦𝑧) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}}, ℝ, < ))
3530, 31, 34syl2an 493 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}}, ℝ, < ))
36353impa 1278 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) = -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}}, ℝ, < ))
37 elrabi 3391 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}} → 𝑦 ∈ ℝ)
3837adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}}) → 𝑦 ∈ ℝ)
39 ssel2 3631 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
40 negeq 10311 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑦 → -𝑤 = -𝑦)
4140eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = 𝑦 → (-𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ↔ -𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}))
4241elrab3 3397 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}} ↔ -𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}))
43 renegcl 10382 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
44 negeq 10311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = -𝑦 → -𝑥 = --𝑦)
4544eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = -𝑦 → (-𝑥𝐴 ↔ --𝑦𝐴))
4645elrab3 3397 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-𝑦 ∈ ℝ → (-𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ↔ --𝑦𝐴))
4743, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → (-𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ↔ --𝑦𝐴))
48 recn 10064 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
4948negnegd 10421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ → --𝑦 = 𝑦)
5049eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ → (--𝑦𝐴𝑦𝐴))
5142, 47, 503bitrd 294 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}} ↔ 𝑦𝐴))
5251adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}} ↔ 𝑦𝐴))
5338, 39, 52eqrdav 2650 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ ℝ → {𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}} = 𝐴)
5453supeq1d 8393 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ → sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
55543ad2ant1 1102 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}}, ℝ, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
5655negeqd 10313 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → -sup({𝑤 ∈ ℝ ∣ -𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
5736, 56eqtrd 2685 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ))
58 infrecl 11043 . . . . . . . . . . 11 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑦𝑧) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5932, 58mp3an1 1451 . . . . . . . . . 10 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑦𝑧) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6030, 31, 59syl2an 493 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
61603impa 1278 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
62 suprcl 11021 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
63 recn 10064 . . . . . . . . 9 (inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ)
64 recn 10064 . . . . . . . . 9 (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
65 negcon2 10372 . . . . . . . . 9 ((inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ) → (inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < )))
6663, 64, 65syl2an 493 . . . . . . . 8 ((inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < )))
6761, 62, 66syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → (inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) = -sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < )))
6857, 67mpbid 222 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ))
6927, 28, 29, 68syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → sup(𝐴, ℝ, < ) = -inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ))
70 supxrre 12195 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
7127, 28, 29, 70syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
7232a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ⊆ ℝ)
7327, 28, 30syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ≠ ∅)
7429, 31syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑦𝑧)
75 infxrre 12204 . . . . . . . 8 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ⊆ ℝ ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑦𝑧) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ))
7672, 73, 74, 75syl3anc 1366 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ))
7776xnegeqd 39977 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ))
7826, 60sylanl1 683 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
7978rexnegd 39648 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ) = -inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ))
8077, 79eqtrd 2685 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = -inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ, < ))
8169, 71, 803eqtr4d 2695 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ))
82 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦)
83 simplr 807 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
8426sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
8584adantlr 751 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
8683, 85ltnled 10222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑦 < 𝑧 ↔ ¬ 𝑧𝑦))
8786rexbidva 3078 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧𝐴 ¬ 𝑧𝑦))
88 rexnal 3024 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑧𝐴 ¬ 𝑧𝑦 ↔ ¬ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦)
8988a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑧𝐴 ¬ 𝑧𝑦 ↔ ¬ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦))
9087, 89bitrd 268 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ¬ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦))
9190ralbidva 3014 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ¬ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦))
92 ralnex 3021 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦 ∈ ℝ ¬ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦)
9392a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ¬ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦))
9491, 93bitrd 268 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦))
9594adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦))
9682, 95mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)
97 xnegmnf 12079 . . . . . . . . 9 -𝑒-∞ = +∞
9897eqcomi 2660 . . . . . . . 8 +∞ = -𝑒-∞
9998a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) → +∞ = -𝑒-∞)
100 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)
101 ressxr 10121 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℝ*
102101a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
10326, 102sstrd 3646 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
104 supxrunb2 12188 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
105103, 104syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
106105adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) → (∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
107100, 106mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
108 renegcl 10382 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ ℝ → -𝑣 ∈ ℝ)
109108adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧𝑣 ∈ ℝ) → -𝑣 ∈ ℝ)
110 simpl 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧𝑣 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)
111 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = -𝑣 → (𝑦 < 𝑧 ↔ -𝑣 < 𝑧))
112111rexbidv 3081 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = -𝑣 → (∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧𝐴 -𝑣 < 𝑧))
113112rspcva 3338 . . . . . . . . . . . . 13 ((-𝑣 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) → ∃𝑧𝐴 -𝑣 < 𝑧)
114109, 110, 113syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧𝑣 ∈ ℝ) → ∃𝑧𝐴 -𝑣 < 𝑧)
115114adantll 750 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → ∃𝑧𝐴 -𝑣 < 𝑧)
116 negeq 10311 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = -𝑧 → -𝑥 = --𝑧)
117116eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = -𝑧 → (-𝑥𝐴 ↔ --𝑧𝐴))
11884renegcld 10495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝐴) → -𝑧 ∈ ℝ)
119118ad4ant13 1315 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → -𝑧 ∈ ℝ)
12084recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℂ)
121120negnegd 10421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝐴) → --𝑧 = 𝑧)
122 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
123121, 122eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧𝐴) → --𝑧𝐴)
124123ad4ant13 1315 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → --𝑧𝐴)
125117, 119, 124elrabd 3398 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → -𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴})
126 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → -𝑣 < 𝑧)
127108ad3antlr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → -𝑣 ∈ ℝ)
12884ad4ant13 1315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
129127, 128ltnegd 10643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → (-𝑣 < 𝑧 ↔ -𝑧 < --𝑣))
130126, 129mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → -𝑧 < --𝑣)
131 simpllr 815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → 𝑣 ∈ ℝ)
132 recn 10064 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ∈ ℝ → 𝑣 ∈ ℂ)
133 negneg 10369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ∈ ℂ → --𝑣 = 𝑣)
134131, 132, 1333syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → --𝑣 = 𝑣)
135130, 134breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → -𝑧 < 𝑣)
136 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = -𝑧 → (𝑤 < 𝑣 ↔ -𝑧 < 𝑣))
137136rspcev 3340 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ∧ -𝑧 < 𝑣) → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑤 < 𝑣)
138125, 135, 137syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑣 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) ∧ -𝑣 < 𝑧) → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑤 < 𝑣)
139138rexlimdva2 39653 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑣 ∈ ℝ) → (∃𝑧𝐴 -𝑣 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑤 < 𝑣))
140139adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (∃𝑧𝐴 -𝑣 < 𝑧 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑤 < 𝑣))
141115, 140mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑤 < 𝑣)
142141ralrimiva 2995 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) → ∀𝑣 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑤 < 𝑣)
14332, 101sstri 3645 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ⊆ ℝ*
144 infxrunb2 39897 . . . . . . . . . 10 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴} ⊆ ℝ* → (∀𝑣 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑤 < 𝑣 ↔ inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = -∞))
145143, 144ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑣 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}𝑤 < 𝑣 ↔ inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = -∞)
146142, 145sylib 208 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) → inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = -∞)
147146xnegeqd 39977 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) → -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ) = -𝑒-∞)
14899, 107, 1473eqtr4d 2695 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ))
14996, 148syldan 486 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ))
150149adantlr 751 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ ¬ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ))
15181, 150pm2.61dan 849 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ))
15225, 151sylan2 490 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ))
15324, 152pm2.61dan 849 1 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑥 ∈ ℝ ∣ -𝑥𝐴}, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685  supcsup 8387  infcinf 8388  cc 9972  cr 9973  +∞cpnf 10109  -∞cmnf 10110  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  -cneg 10305  -𝑒cxne 11981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-xneg 11984
This theorem is referenced by:  supminfxr2  40012
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