MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supmul 10845
Description: The supremum function distributes over multiplication, in the sense that (sup𝐴) · (sup𝐵) = sup(𝐴 · 𝐵), where 𝐴 · 𝐵 is shorthand for {𝑎 · 𝑏𝑎𝐴, 𝑏𝐵} and is defined as 𝐶 below. We made use of this in our definition of multiplication in the Dedekind cut construction of the reals (see df-mp 9663). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
supmul.1 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏)}
supmul.2 (𝜑 ↔ ((∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
Assertion
Ref Expression
supmul (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶   𝜑,𝑏,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑣)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑣,𝑏)

Proof of Theorem supmul
Dummy variables 𝑎 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supmul.2 . . . . . . 7 (𝜑 ↔ ((∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
21simp2bi 1070 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
3 suprcl 10835 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
51simp3bi 1071 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥))
6 suprcl 10835 . . . . . 6 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8 recn 9883 . . . . . 6 (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
9 recn 9883 . . . . . 6 (sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℂ)
10 mulcom 9879 . . . . . 6 ((sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℂ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = (sup(𝐵, ℝ, < ) · sup(𝐴, ℝ, < )))
118, 9, 10syl2an 493 . . . . 5 ((sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = (sup(𝐵, ℝ, < ) · sup(𝐴, ℝ, < )))
124, 7, 11syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = (sup(𝐵, ℝ, < ) · sup(𝐴, ℝ, < )))
135simp2d 1067 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
14 n0 3890 . . . . . . 7 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏𝐵)
1513, 14sylib 207 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑏 𝑏𝐵)
16 0red 9898 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ∈ ℝ)
175simp1d 1066 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
1817sselda 3568 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
197adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐵) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
20 simp1r 1079 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥)
211, 20sylbi 206 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥)
22 breq2 4582 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑏 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑏))
2322rspccv 3279 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥 → (𝑏𝐵 → 0 ≤ 𝑏))
2421, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑏𝐵 → 0 ≤ 𝑏))
2524imp 444 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ≤ 𝑏)
26 suprub 10836 . . . . . . . 8 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
275, 26sylan 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
2816, 18, 19, 25, 27letrd 10046 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
2915, 28exlimddv 1850 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
30 simp1l 1078 . . . . . 6 (((∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → ∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥)
311, 30sylbi 206 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥)
32 eqid 2610 . . . . . 6 {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} = {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}
33 biid 250 . . . . . 6 (((sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ) ∧ ∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ↔ ((sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ) ∧ ∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)))
3432, 33supmul1 10842 . . . . 5 (((sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ) ∧ ∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · sup(𝐴, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ))
357, 29, 31, 2, 34syl31anc 1321 . . . 4 (𝜑 → (sup(𝐵, ℝ, < ) · sup(𝐴, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ))
3612, 35eqtrd 2644 . . 3 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ))
37 vex 3176 . . . . . . 7 𝑤 ∈ V
38 eqeq1 2614 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ↔ 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)))
3938rexbidv 3034 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ↔ ∃𝑎𝐴 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)))
4037, 39elab 3319 . . . . . 6 (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ↔ ∃𝑎𝐴 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
417adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
422simp1d 1066 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
4342sselda 3568 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
44 recn 9883 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
45 mulcom 9879 . . . . . . . . . . 11 ((sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) = (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )))
469, 44, 45syl2an 493 . . . . . . . . . 10 ((sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) = (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )))
4741, 43, 46syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) = (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )))
48 breq2 4582 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑎 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑎))
4948rspccv 3279 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥 → (𝑎𝐴 → 0 ≤ 𝑎))
5031, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑎𝐴 → 0 ≤ 𝑎))
5150imp 444 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐴) → 0 ≤ 𝑎)
5221adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐴) → ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥)
535adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥))
54 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} = {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}
55 biid 250 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
5654, 55supmul1 10842 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}, ℝ, < ))
5743, 51, 52, 53, 56syl31anc 1321 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}, ℝ, < ))
58 eqeq1 2614 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
5958rexbidv 3034 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
6037, 59elab 3319 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ↔ ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
61 rspe 2986 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎𝐴 ∧ ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
62 oveq1 6534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 = 𝑎 → (𝑣 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑏))
6362eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 = 𝑎 → (𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)))
6463rexbidv 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 = 𝑎 → (∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)))
6564cbvrexv 3148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∃𝑣𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏))
66582rexbidv 3039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
6765, 66syl5bb 271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑣𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
68 supmul.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏)}
6937, 67, 68elab2 3323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤𝐶 ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
7061, 69sylibr 223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎𝐴 ∧ ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) → 𝑤𝐶)
7170ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎𝐴 → (∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤𝐶))
7268, 1supmullem2 10844 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥))
73 suprub 10836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
7473ex 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) → (𝑤𝐶𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
7572, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑤𝐶𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
7671, 75sylan9r 688 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝐴) → (∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
7760, 76syl5bi 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
7877ralrimiv 2948 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐴) → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
7943adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑎 ∈ ℝ)
8018adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
8179, 80remulcld 9927 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
82 eleq1a 2683 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ → (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑧 ∈ ℝ))
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑧 ∈ ℝ))
8483rexlimdva 3013 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝐴) → (∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑧 ∈ ℝ))
8584abssdv 3639 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐴) → {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ⊆ ℝ)
86 ovex 6555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 · 𝑏) ∈ V
8786isseti 3182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)
8887rgenw 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)
89 r19.2z 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) → ∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
9013, 88, 89sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
91 rexcom4 3198 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
9290, 91sylib 207 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∃𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
9359cbvexv 2263 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑧𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
9492, 93sylibr 223 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∃𝑧𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏))
95 abn0 3908 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏))
9694, 95sylibr 223 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ≠ ∅)
9796adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐴) → {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ≠ ∅)
98 suprcl 10835 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
9972, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
10099adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝐴) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
101 breq2 4582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = sup(𝐶, ℝ, < ) → (𝑤𝑥𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
102101ralbidv 2969 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = sup(𝐶, ℝ, < ) → (∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
103102rspcev 3282 . . . . . . . . . . . . 13 ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤𝑥)
104100, 78, 103syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤𝑥)
105 suprleub 10839 . . . . . . . . . . . 12 ((({𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤𝑥) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
10685, 97, 104, 100, 105syl31anc 1321 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐴) → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
10778, 106mpbird 246 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → sup({𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
10857, 107eqbrtrd 4600 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
10947, 108eqbrtrd 4600 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐴) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
110 breq1 4581 . . . . . . . 8 (𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → (𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
111109, 110syl5ibrcom 236 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
112111rexlimdva 3013 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑎𝐴 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
11340, 112syl5bi 231 . . . . 5 (𝜑 → (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
114113ralrimiv 2948 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
11541, 43remulcld 9927 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐴) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ∈ ℝ)
116 eleq1a 2683 . . . . . . . 8 ((sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ∈ ℝ → (𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → 𝑧 ∈ ℝ))
117115, 116syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → 𝑧 ∈ ℝ))
118117rexlimdva 3013 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → 𝑧 ∈ ℝ))
119118abssdv 3639 . . . . 5 (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ⊆ ℝ)
1202simp2d 1067 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
121 ovex 6555 . . . . . . . . . 10 (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ∈ V
122121isseti 3182 . . . . . . . . 9 𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)
123122rgenw 2908 . . . . . . . 8 𝑎𝐴𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)
124 r19.2z 4012 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎𝐴𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)) → ∃𝑎𝐴𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
125120, 123, 124sylancl 693 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑎𝐴𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
126 rexcom4 3198 . . . . . . 7 (∃𝑎𝐴𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ↔ ∃𝑧𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
127125, 126sylib 207 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑧𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
128 abn0 3908 . . . . . 6 ({𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
129127, 128sylibr 223 . . . . 5 (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ≠ ∅)
130101ralbidv 2969 . . . . . . 7 (𝑥 = sup(𝐶, ℝ, < ) → (∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
131130rspcev 3282 . . . . . 6 ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤𝑥)
13299, 114, 131syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤𝑥)
133 suprleub 10839 . . . . 5 ((({𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤𝑥) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
134119, 129, 132, 99, 133syl31anc 1321 . . . 4 (𝜑 → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
135114, 134mpbird 246 . . 3 (𝜑 → sup({𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
13636, 135eqbrtrd 4600 . 2 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
13768, 1supmullem1 10843 . . 3 (𝜑 → ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))
1384, 7remulcld 9927 . . . 4 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ)
139 suprleub 10839 . . . 4 (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ) → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
14072, 138, 139syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
141137, 140mpbird 246 . 2 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))
142138, 99letri3d 10031 . 2 (𝜑 → ((sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ((sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))))
143136, 141, 142mpbir2and 959 1 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wex 1695  wcel 1977  {cab 2596  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  wss 3540  c0 3874   class class class wbr 4578  (class class class)co 6527  supcsup 8207  cc 9791  cr 9792  0cc0 9793   · cmul 9798   < clt 9931  cle 9932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-sup 8209  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537
This theorem is referenced by:  sqrlem5  13784
  Copyright terms: Public domain W3C validator