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Theorem supmul 11033
Description: The supremum function distributes over multiplication, in the sense that (sup𝐴) · (sup𝐵) = sup(𝐴 · 𝐵), where 𝐴 · 𝐵 is shorthand for {𝑎 · 𝑏𝑎𝐴, 𝑏𝐵} and is defined as 𝐶 below. We made use of this in our definition of multiplication in the Dedekind cut construction of the reals (see df-mp 9844). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
supmul.1 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏)}
supmul.2 (𝜑 ↔ ((∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
Assertion
Ref Expression
supmul (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶   𝜑,𝑏,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑣)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑣,𝑏)

Proof of Theorem supmul
Dummy variables 𝑎 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supmul.2 . . . . . . 7 (𝜑 ↔ ((∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
21simp2bi 1097 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
3 suprcl 11021 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
51simp3bi 1098 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥))
6 suprcl 11021 . . . . . 6 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8 recn 10064 . . . . . 6 (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
9 recn 10064 . . . . . 6 (sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℂ)
10 mulcom 10060 . . . . . 6 ((sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℂ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = (sup(𝐵, ℝ, < ) · sup(𝐴, ℝ, < )))
118, 9, 10syl2an 493 . . . . 5 ((sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = (sup(𝐵, ℝ, < ) · sup(𝐴, ℝ, < )))
124, 7, 11syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = (sup(𝐵, ℝ, < ) · sup(𝐴, ℝ, < )))
135simp2d 1094 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
14 n0 3964 . . . . . . 7 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏𝐵)
1513, 14sylib 208 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑏 𝑏𝐵)
16 0red 10079 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ∈ ℝ)
175simp1d 1093 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
1817sselda 3636 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
197adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐵) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
20 simp1r 1106 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥)
211, 20sylbi 207 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥)
22 breq2 4689 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑏 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑏))
2322rspccv 3337 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥 → (𝑏𝐵 → 0 ≤ 𝑏))
2421, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑏𝐵 → 0 ≤ 𝑏))
2524imp 444 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ≤ 𝑏)
26 suprub 11022 . . . . . . . 8 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
275, 26sylan 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
2816, 18, 19, 25, 27letrd 10232 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
2915, 28exlimddv 1903 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
30 simp1l 1105 . . . . . 6 (((∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → ∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥)
311, 30sylbi 207 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥)
32 eqid 2651 . . . . . 6 {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} = {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}
33 biid 251 . . . . . 6 (((sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ) ∧ ∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ↔ ((sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ) ∧ ∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)))
3432, 33supmul1 11030 . . . . 5 (((sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ) ∧ ∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · sup(𝐴, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ))
357, 29, 31, 2, 34syl31anc 1369 . . . 4 (𝜑 → (sup(𝐵, ℝ, < ) · sup(𝐴, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ))
3612, 35eqtrd 2685 . . 3 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ))
37 vex 3234 . . . . . . 7 𝑤 ∈ V
38 eqeq1 2655 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ↔ 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)))
3938rexbidv 3081 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ↔ ∃𝑎𝐴 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)))
4037, 39elab 3382 . . . . . 6 (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ↔ ∃𝑎𝐴 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
417adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
422simp1d 1093 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
4342sselda 3636 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
44 recn 10064 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
45 mulcom 10060 . . . . . . . . . . 11 ((sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) = (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )))
469, 44, 45syl2an 493 . . . . . . . . . 10 ((sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) = (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )))
4741, 43, 46syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) = (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )))
48 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑎 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑎))
4948rspccv 3337 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥 → (𝑎𝐴 → 0 ≤ 𝑎))
5031, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑎𝐴 → 0 ≤ 𝑎))
5150imp 444 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐴) → 0 ≤ 𝑎)
5221adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐴) → ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥)
535adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥))
54 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} = {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}
55 biid 251 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
5654, 55supmul1 11030 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}, ℝ, < ))
5743, 51, 52, 53, 56syl31anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}, ℝ, < ))
58 eqeq1 2655 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
5958rexbidv 3081 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
6037, 59elab 3382 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ↔ ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
61 rspe 3032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎𝐴 ∧ ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
62 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 = 𝑎 → (𝑣 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑏))
6362eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 = 𝑎 → (𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)))
6463rexbidv 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 = 𝑎 → (∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)))
6564cbvrexv 3202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∃𝑣𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏))
66582rexbidv 3086 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
6765, 66syl5bb 272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑣𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
68 supmul.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏)}
6937, 67, 68elab2 3386 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤𝐶 ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
7061, 69sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎𝐴 ∧ ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) → 𝑤𝐶)
7170ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎𝐴 → (∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤𝐶))
7268, 1supmullem2 11032 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥))
73 suprub 11022 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
7473ex 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) → (𝑤𝐶𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
7572, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑤𝐶𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
7671, 75sylan9r 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝐴) → (∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
7760, 76syl5bi 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
7877ralrimiv 2994 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐴) → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
7943adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑎 ∈ ℝ)
8018adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
8179, 80remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
82 eleq1a 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ → (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑧 ∈ ℝ))
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑧 ∈ ℝ))
8483rexlimdva 3060 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝐴) → (∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑧 ∈ ℝ))
8584abssdv 3709 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐴) → {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ⊆ ℝ)
86 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 · 𝑏) ∈ V
8786isseti 3240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)
8887rgenw 2953 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)
89 r19.2z 4093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) → ∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
9013, 88, 89sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
91 rexcom4 3256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
9290, 91sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∃𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
9359cbvexv 2311 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑧𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
9492, 93sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∃𝑧𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏))
95 abn0 3987 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏))
9694, 95sylibr 224 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ≠ ∅)
9796adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐴) → {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ≠ ∅)
98 suprcl 11021 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
9972, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
10099adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝐴) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
101 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = sup(𝐶, ℝ, < ) → (𝑤𝑥𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
102101ralbidv 3015 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = sup(𝐶, ℝ, < ) → (∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
103102rspcev 3340 . . . . . . . . . . . . 13 ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤𝑥)
104100, 78, 103syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤𝑥)
105 suprleub 11027 . . . . . . . . . . . 12 ((({𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤𝑥) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
10685, 97, 104, 100, 105syl31anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐴) → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
10778, 106mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → sup({𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
10857, 107eqbrtrd 4707 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
10947, 108eqbrtrd 4707 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐴) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
110 breq1 4688 . . . . . . . 8 (𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → (𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
111109, 110syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
112111rexlimdva 3060 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑎𝐴 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
11340, 112syl5bi 232 . . . . 5 (𝜑 → (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
114113ralrimiv 2994 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
11541, 43remulcld 10108 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐴) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ∈ ℝ)
116 eleq1a 2725 . . . . . . . 8 ((sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ∈ ℝ → (𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → 𝑧 ∈ ℝ))
117115, 116syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → 𝑧 ∈ ℝ))
118117rexlimdva 3060 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → 𝑧 ∈ ℝ))
119118abssdv 3709 . . . . 5 (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ⊆ ℝ)
1202simp2d 1094 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
121 ovex 6718 . . . . . . . . . 10 (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ∈ V
122121isseti 3240 . . . . . . . . 9 𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)
123122rgenw 2953 . . . . . . . 8 𝑎𝐴𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)
124 r19.2z 4093 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎𝐴𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)) → ∃𝑎𝐴𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
125120, 123, 124sylancl 695 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑎𝐴𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
126 rexcom4 3256 . . . . . . 7 (∃𝑎𝐴𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ↔ ∃𝑧𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
127125, 126sylib 208 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑧𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
128 abn0 3987 . . . . . 6 ({𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
129127, 128sylibr 224 . . . . 5 (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ≠ ∅)
130101ralbidv 3015 . . . . . . 7 (𝑥 = sup(𝐶, ℝ, < ) → (∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
131130rspcev 3340 . . . . . 6 ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤𝑥)
13299, 114, 131syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤𝑥)
133 suprleub 11027 . . . . 5 ((({𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤𝑥) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
134119, 129, 132, 99, 133syl31anc 1369 . . . 4 (𝜑 → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
135114, 134mpbird 247 . . 3 (𝜑 → sup({𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
13636, 135eqbrtrd 4707 . 2 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
13768, 1supmullem1 11031 . . 3 (𝜑 → ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))
1384, 7remulcld 10108 . . . 4 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ)
139 suprleub 11027 . . . 4 (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ) → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
14072, 138, 139syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
141137, 140mpbird 247 . 2 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))
142138, 99letri3d 10217 . 2 (𝜑 → ((sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ((sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))))
143136, 141, 142mpbir2and 977 1 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  {cab 2637  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  supcsup 8387  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723
This theorem is referenced by:  sqrlem5  14031
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